2 vectơ cùng phương khi nào? Điều kiện và cách tìm tham số
Lớp 10Toán

2 vectơ cùng phương khi nào? Điều kiện và cách tìm tham số

Trả lời nhanh

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Với vectơ b khác vectơ không, vectơ a cùng phương với b khi và chỉ khi có số k sao cho a = k·b. Trong tọa độ, hai vectơ a(x1; y1) và b(x2; y2) cùng phương khi x1y2 − x2y1 = 0.

Định nghĩa: cùng phương nghĩa là gì?

Mỗi vectơ khác vectơ không có một đường thẳng chứa nó, gọi là giá. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nói cách khác, hai vectơ “nằm trên cùng một hướng đường đi”, có thể cùng chiều hoặc ngược chiều.

  • Cùng hướng: cùng phương và cùng chiều mũi tên.
  • Ngược hướng: cùng phương nhưng mũi tên chỉ hai chiều trái ngược.
Hình minh họa hai vectơ cùng phương cùng hướng, ngược hướng và vectơ không cùng phương
Hình 1. b = 2a cùng hướng với a; c = −1,5a ngược hướng với a; u không cùng phương với a.

Ba cách kiểm tra hai vectơ cùng phương

Cách 1: Dùng định nghĩa và quan hệ tỉ lệ

Cho b ≠ 0. Khi đó a cùng phương b ⇔ tồn tại duy nhất số thực k để a = k·b.

  • k > 0: a và b cùng hướng.
  • k < 0: a và b ngược hướng.
  • |k| = |a| : |b|.

Cách 2: Dùng tọa độ

Cho a(x1; y1) và b(x2; y2). Hai vectơ cùng phương ⇔ x1y2 − x2y1 = 0.

Nếu x2, y2 đều khác 0 thì có thể viết gọn x1/x2 = y1/y2. Em nên ưu tiên dạng tích chéo vì không lo mẫu bằng 0.

Cách 3: Chuyển về bài toán thẳng hàng

Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ hai vectơ AB và AC cùng phương. Đây là ứng dụng quan trọng nhất của điều kiện cùng phương.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cho a(2; −4) và b(−3; 6). Hai vectơ có cùng phương không?

Ta có 2·6 − (−3)·(−4) = 12 − 12 = 0, nên a và b cùng phương. Hơn nữa b = −(3/2)·a với k âm, vậy hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 2. Tìm m để u(1; m) cùng phương với v(3; 6).

Điều kiện: 1·6 − 3·m = 0 ⇔ m = 2. Kiểm tra: u(1; 2), v(3; 6) = 3u. Đúng.

Ví dụ 3. Chứng minh A(1; 2), B(3; 6), C(5; 10) thẳng hàng.

AB = (2; 4), AC = (4; 8). Vì 2·8 − 4·4 = 0 nên AB cùng phương AC. Hai vectơ có chung điểm A, nên A, B, C thẳng hàng.

Lưu ý quan trọng

  • Vectơ không cùng phương với mọi vectơ, vì có thể viết 0 = 0·a.
  • “Cùng phương” khác “cùng hướng”. Cùng hướng thì chắc chắn cùng phương, ngược lại thì chưa chắc.
  • Hai vectơ bằng nhau thì cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.

Lỗi sai thường gặp

  1. Dùng tỉ lệ x1/x2 = y1/y2 khi một tọa độ bằng 0, dẫn đến chia cho 0. Hãy dùng tích chéo.
  2. Quên rằng ba điểm thẳng hàng cần hai vectơ có chung một điểm đầu, ví dụ AB và AC.
  3. Chỉ so sánh độ dài mà không xét phương, rồi kết luận hai vectơ cùng phương.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm m để u(m; 4) cùng phương với v(−2; 8).
Đáp án: m·8 − (−2)·4 = 0 ⇔ 8m + 8 = 0 ⇔ m = −1.

Bài 2. Tìm m để A(0; 1), B(2; m), C(4; 7) thẳng hàng.
Đáp án: AB = (2; m − 1), AC = (4; 6). Điều kiện 2·6 − 4(m − 1) = 0 ⇔ m = 4.

Bài 3. Cho a(3; −6). Viết một vectơ b cùng phương nhưng ngược hướng với a và có độ dài gấp đôi.
Đáp án: b = −2a = (−6; 12).

Câu hỏi thường gặp

2 vectơ cùng phương khi nào?

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Với b khác vectơ không, điều kiện là a = k·b với k là một số thực.

Điều kiện cùng phương bằng tọa độ là gì?

Với a(x1; y1) và b(x2; y2), hai vectơ cùng phương khi x1·y2 − x2·y1 = 0.

Vectơ không có cùng phương với mọi vectơ không?

Có. Theo quy ước, vectơ không cùng phương (và cùng hướng) với mọi vectơ.

Làm sao chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ?

Lập hai vectơ AB và AC rồi kiểm tra chúng cùng phương. Nếu cùng phương thì A, B, C thẳng hàng.

Bài học liên quan