Cho lục giác đều ABCDEF tâm O: số các vectơ khác vectơ-không

1. Vì sao có đúng ba đường thẳng cùng phương với OA?

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ta tìm các đường thẳng đi qua hai điểm trong số các đỉnh mà song song hoặc trùng với đường thẳng OA.

• Đường thẳng OA chính là đường chéo chính AD, vì O là trung điểm của AD.
• Các tam giác OAB và OBC là tam giác đều (lục giác đều có OA = OB = OC = cạnh). Suy ra OA = AB = BC = CO, nên tứ giác OABC là hình thoi, do đó BC ∥ OA.
• Tương tự, EF ∥ OA. Vậy ba đường AD, BC, EF song song với nhau.

2. Đếm số vectơ

Mỗi đường thẳng đi qua hai điểm cho hai vectơ ngược chiều nhau (ví dụ AD và DA).

• Chỉ dùng các đỉnh: đường AD cho 2 vectơ, BC cho 2, EF cho 2. Tổng là 6.
• Dùng cả tâm O: trên đường AD có ba điểm A, O, D, cho 3·2 = 6 vectơ (AO, OA, AD, DA, OD, DO). Cộng thêm 4 vectơ của BC, EF, tổng là 10.

3. Các dạng đề tương tự

Em có thể kiểm tra: vectơ bằng OA hoặc đối của OA trong số 10 vectơ cùng phương gồm 4 + 4 = 8 vectơ, hai vectơ còn lại là AD và DA, độ dài gấp đôi OA.

4. Mẹo làm bài

• Đọc kĩ điểm đầu, điểm cuối được phép chọn: chỉ đỉnh, hay có cả tâm O.
• Vectơ AB và BA là hai vectơ khác nhau, nên phải đếm cả hai chiều.
• Hai vectơ bằng nhau cần cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ chỉ cùng phương thì có thể ngược chiều hoặc khác độ dài.

5. Lỗi sai thường gặp

• Chỉ đếm AD, BC, EF mà quên chiều ngược lại, dẫn đến đáp án 3.
• Đếm cả vectơ-không (ví dụ AA), trong khi đề yêu cầu khác vectơ-không.
• Nhầm "cùng phương" với "bằng nhau".

6. Luyện tập

1. Có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AB (kể cả AB), có điểm đầu và cuối thuộc {A, B, C, D, E, F, O}? Đáp án: 4 vectơ là AB, FO, OC, ED.
2. Tìm các vectơ cùng phương với AB có hai đầu là đỉnh của lục giác. Đáp án: AB, BA, ED, DE, FC, CF: đường thẳng AB song song với ED và FC, nên có 6 vectơ.
3. Chứng minh AD = 2·OA theo độ dài. Gợi ý: O là trung điểm của AD.