50 bài tập nguyên hàm có đáp án, phân dạng chi tiết (Toán 12)

Nguyên hàm là gì? Kiểm tra kết quả thế nào?

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Khi đó mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C (C là hằng số) và được kí hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.

Từ định nghĩa suy ra cách tự kiểm tra rất chắc chắn: lấy đạo hàm kết quả; nếu ra đúng f(x) thì em đã làm đúng. Đây cũng là cách toàn bộ đáp án trong tài liệu này được kiểm tra.

Bảng nguyên hàm cơ bản cần thuộc

Hàm số f(x)	Nguyên hàm ∫f(x)dx	Dạng mở rộng với (ax + b), a ≠ 0
0	C	—
xα (α ≠ −1)	xα+1/(α + 1) + C	(ax + b)α+1/[a(α + 1)] + C
1/x	ln|x| + C	(1/a)ln|ax + b| + C
ex	ex + C	(1/a)eax + b + C
ax (0 < a ≠ 1)	ax/ln a + C	—
cos x	sin x + C	(1/a)sin(ax + b) + C
sin x	−cos x + C	−(1/a)cos(ax + b) + C
1/cos2x	tan x + C	(1/a)tan(ax + b) + C
1/sin2x	−cot x + C	−(1/a)cot(ax + b) + C

Mẹo nhớ hệ số 1/a: khi biến là (ax + b), đạo hàm “trong” sinh ra thêm thừa số a, nên nguyên hàm phải chia lại cho a. Quên 1/a là lỗi phổ biến nhất trong các bài kiểm tra.

Phương pháp chung và lỗi sai thường gặp

1. Biến đổi f(x) về tổng/hiệu các hàm trong bảng: khai triển hằng đẳng thức, chia đa thức, tách phân thức, hạ bậc lượng giác, biến tích thành tổng, gộp lũy thừa cùng số mũ.
2. Áp dụng bảng cho từng hạng tử, nhớ cộng một hằng số C ở cuối.
3. Thử lại bằng đạo hàm.

• Viết ∫1/x²dx = ln x²: sai, phải là −1/x + C (dùng công thức lũy thừa với α = −2).
• Viết ∫sin x dx = cos x: sai dấu, đúng là −cos x + C.
• Quên trị tuyệt đối trong ln|x|, hoặc quên điều kiện x ≠ 0.
• Tách ∫f·g dx = ∫f dx · ∫g dx: không có tính chất này.

Dạng 1: Hàm đa thức, lũy thừa, căn thức

Đưa căn về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, rồi dùng công thức ∫x^αdx.

Bài 1. Tìm nguyên hàm của f(x) = 3x² − 4x + 5.

Lời giải: ∫(3x² − 4x + 5)dx = 3·x³/3 − 4·x²/2 + 5x + C = x³ − 2x² + 5x + C.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của f(x) = (2x − 1)².

Lời giải: Khai triển: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1. Do đó ∫f(x)dx = 4x³/3 − 2x² + x + C. (Cách khác: dùng công thức ∫(ax + b)ⁿdx = (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)] + C, được (2x − 1)³/6 + C; hai kết quả chỉ khác nhau một hằng số.)

Bài 3. Tìm nguyên hàm của f(x) = x³ − 1/x² (x ≠ 0).

Lời giải: Viết 1/x² = x⁻². Ta có ∫x⁻²dx = x⁻¹/(−1) = −1/x. Vậy ∫f(x)dx = x⁴/4 + 1/x + C.

Bài 4. Tìm nguyên hàm của f(x) = √x + 1/√x (x > 0).

Lời giải: Viết √x = x^1/2, 1/√x = x^−1/2. Áp dụng ∫x^αdx = x^α+1/(α + 1): ∫f(x)dx = (2/3)x^3/2 + 2x^1/2 + C = (2/3)x√x + 2√x + C.

Bài 5. Tìm nguyên hàm của f(x) = ∛x.

Lời giải: ∛x = x^1/3, nên ∫f(x)dx = x^4/3/(4/3) + C = (3/4)x∛x + C.

Dạng 2: Hàm phân thức

Bậc tử ≥ bậc mẫu thì chia đa thức; mẫu tích các nhân tử bậc nhất thì tách thành tổng các phân thức đơn giản.

Bài 6. Tìm nguyên hàm của f(x) = (x² − 3x + 2)/x (x ≠ 0).

Lời giải: Chia từng hạng tử cho x: f(x) = x − 3 + 2/x. Suy ra ∫f(x)dx = x²/2 − 3x + 2ln|x| + C.

Bài 7. Tìm nguyên hàm của f(x) = (x + 1)/x² (x ≠ 0).

Lời giải: Tách: f(x) = 1/x + 1/x². Vậy ∫f(x)dx = ln|x| − 1/x + C.

Bài 8. Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/(2x + 1) (x ≠ −1/2).

Lời giải: Áp dụng ∫dx/(ax + b) = (1/a)ln|ax + b| + C với a = 2: ∫f(x)dx = (1/2)ln|2x + 1| + C. Lỗi hay gặp là quên hệ số 1/2.

Bài 9. Tìm nguyên hàm của f(x) = (x² + x + 1)/(x + 1) (x ≠ −1).

Lời giải: Chia đa thức: x² + x + 1 = x(x + 1) + 1, nên f(x) = x + 1/(x + 1). Vậy ∫f(x)dx = x²/2 + ln|x + 1| + C.

Bài 10. Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/[x(x + 1)].

Lời giải: Tách phân thức: 1/[x(x + 1)] = 1/x − 1/(x + 1) (kiểm tra: quy đồng được (x + 1 − x)/[x(x + 1)]). Do đó ∫f(x)dx = ln|x| − ln|x + 1| + C = ln|x/(x + 1)| + C.

Bài 11. Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/(x² − 4).

Lời giải: Phân tích: 1/(x² − 4) = (1/4)[1/(x − 2) − 1/(x + 2)]. Do đó ∫f(x)dx = (1/4)(ln|x − 2| − ln|x + 2|) + C = (1/4)ln|(x − 2)/(x + 2)| + C.

Dạng 3: Hàm số mũ

Bài 12. Tìm nguyên hàm của f(x) = 2e^x − 3^x.

Lời giải: Dùng ∫e^xdx = e^x + C và ∫a^xdx = a^x/ln a + C: ∫f(x)dx = 2e^x − 3^x/ln 3 + C.

Bài 13. Tìm nguyên hàm của f(x) = e^{3x + 1}.

Lời giải: Áp dụng ∫e^{ax + b}dx = (1/a)e^{ax + b} + C: ∫f(x)dx = (1/3)e^{3x + 1} + C.

Bài 14. Tìm nguyên hàm của f(x) = 2^x·3^x.

Lời giải: Gộp cơ số: 2^x·3^x = 6^x. Vậy ∫f(x)dx = 6^x/ln 6 + C.

Bài 15. Tìm nguyên hàm của f(x) = (e^x + 1)².

Lời giải: Khai triển: e^2x + 2e^x + 1. Suy ra ∫f(x)dx = (1/2)e^2x + 2e^x + x + C.

Bài 16. Tìm nguyên hàm của f(x) = e^x(2 + e^−x).

Lời giải: Nhân phân phối: f(x) = 2e^x + 1. Vậy ∫f(x)dx = 2e^x + x + C.

Dạng 4: Hàm số lượng giác

Ba công cụ chính: công thức hạ bậc, biến tích thành tổng và hệ thức tan²x = 1/cos²x − 1.

Bài 17. Tìm nguyên hàm của f(x) = 2cos x − 3sin x.

Lời giải: ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C. Do đó ∫f(x)dx = 2sin x + 3cos x + C. Chú ý dấu: −3·(−cos x) = +3cos x.

Bài 18. Tìm nguyên hàm của f(x) = sin²(x/2).

Lời giải: Hạ bậc: sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Vậy ∫f(x)dx = x/2 − (1/2)sin x + C.

Bài 19. Tìm nguyên hàm của f(x) = cos²x.

Lời giải: Hạ bậc: cos²x = (1 + cos 2x)/2. Vậy ∫f(x)dx = x/2 + (1/4)sin 2x + C.

Bài 20. Tìm nguyên hàm của f(x) = 1/(sin²x·cos²x).

Lời giải: Thay 1 = sin²x + cos²x ở tử: f(x) = 1/cos²x + 1/sin²x. Suy ra ∫f(x)dx = tan x − cot x + C.

Bài 21. Tìm nguyên hàm của f(x) = tan²x.

Lời giải: Dùng tan²x = 1/cos²x − 1. Vậy ∫f(x)dx = tan x − x + C.

Bài 22. Tìm nguyên hàm của f(x) = sin 3x·cos x.

Lời giải: Biến tích thành tổng: sin 3x·cos x = (1/2)(sin 4x + sin 2x). Do đó ∫f(x)dx = −(1/8)cos 4x − (1/4)cos 2x + C.

Bài 23. Tìm nguyên hàm của f(x) = cos(2x − π/3).

Lời giải: Áp dụng ∫cos(ax + b)dx = (1/a)sin(ax + b) + C: ∫f(x)dx = (1/2)sin(2x − π/3) + C.

Dạng 5: Tìm nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

Tìm họ nguyên hàm F(x) + C trước, sau đó thay điều kiện F(x₀) = y₀ để tính C.

Bài 24. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 3x² + 2x − 1 thoả mãn F(1) = 4.

Lời giải: F(x) = x³ + x² − x + C. Từ F(1) = 4: 1 + 1 − 1 + C = 4 ⇔ C = 3. Vậy F(x) = x³ + x² − x + 3.

Bài 25. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = e^x + 2x thoả mãn F(0) = 3.

Lời giải: F(x) = e^x + x² + C. F(0) = 1 + C = 3 ⇔ C = 2. Vậy F(x) = e^x + x² + 2. Lỗi hay gặp: cho e⁰ = 0 dẫn đến C = 3.

Bài 26. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin x + cos x thoả mãn F(π/2) = 2.

Lời giải: F(x) = −cos x + sin x + C. F(π/2) = −0 + 1 + C = 2 ⇔ C = 1. Vậy F(x) = sin x − cos x + 1.

Bài 27. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 1/(x − 1) trên (1; +∞) và F(2) = 1. Tính F(3).

Lời giải: F(x) = ln(x − 1) + C (trên khoảng x > 1). F(2) = ln 1 + C = C = 1. Vậy F(x) = ln(x − 1) + 1 và F(3) = ln 2 + 1.

Dạng 6: Phương pháp đổi biến số (nâng cao)

Theo chương trình Toán 12 hiện hành, phần bắt buộc chủ yếu là nguyên hàm các hàm số sơ cấp bằng bảng và tính chất. Hai dạng 6 và 7 dành cho em muốn mở rộng hoặc ôn theo tài liệu nâng cao. Dấu hiệu đổi biến: trong biểu thức có một hàm u(x) và “gần như” đạo hàm u'(x) của nó.

Bài 28. Tìm ∫2x(x² + 1)⁴dx.

Lời giải: Đặt u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx. Khi đó ∫u⁴du = u⁵/5 + C = (x² + 1)⁵/5 + C.

Bài 29. Tìm ∫x/√(x² + 4) dx.

Lời giải: Đặt u = x² + 4 ⇒ du = 2x dx, x dx = du/2. Ta có ∫(1/2)u^−1/2du = u^1/2 + C = √(x² + 4) + C.

Bài 30. Tìm ∫sin³x·cos x dx.

Lời giải: Đặt u = sin x ⇒ du = cos x dx. ∫u³du = u⁴/4 + C = sin⁴x/4 + C.

Bài 31. Tìm ∫e^x/(e^x + 1) dx.

Lời giải: Đặt u = e^x + 1 ⇒ du = e^xdx. ∫du/u = ln|u| + C = ln(e^x + 1) + C (vì e^x + 1 > 0 nên bỏ dấu giá trị tuyệt đối).

Bài 32. Tìm ∫(ln x)/x dx (x > 0).

Lời giải: Đặt u = ln x ⇒ du = dx/x. ∫u du = u²/2 + C = (ln x)²/2 + C.

Bài 33. Tìm ∫x·e^x² dx.

Lời giải: Đặt u = x² ⇒ du = 2x dx. ∫(1/2)e^udu = (1/2)e^x² + C.

Dạng 7: Phương pháp nguyên hàm từng phần (nâng cao)

Công thức: ∫u dv = uv − ∫v du. Thứ tự ưu tiên chọn u: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (logarit, đa thức, lượng giác, mũ).

Bài 34. Tìm ∫x·e^x dx.

Lời giải: Đặt u = x, dv = e^xdx ⇒ du = dx, v = e^x. Theo công thức ∫u dv = uv − ∫v du: ∫xe^xdx = xe^x − ∫e^xdx = (x − 1)e^x + C.

Bài 35. Tìm ∫x·cos x dx.

Lời giải: Đặt u = x, dv = cos x dx ⇒ du = dx, v = sin x. ∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C.

Bài 36. Tìm ∫ln x dx (x > 0).

Lời giải: Đặt u = ln x, dv = dx ⇒ du = dx/x, v = x. ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x)dx = x ln x − x + C.

Bài 37. Tìm ∫x·ln x dx (x > 0).

Lời giải: Đặt u = ln x, dv = x dx ⇒ du = dx/x, v = x²/2. ∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2)dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C.

Bài 38. Tìm ∫(2x + 1)e^x dx.

Lời giải: Đặt u = 2x + 1, dv = e^xdx ⇒ du = 2dx, v = e^x. ∫ = (2x + 1)e^x − 2∫e^xdx = (2x + 1)e^x − 2e^x + C = (2x − 1)e^x + C.

Dạng 8: Bài toán thực tế

Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc, vận tốc là nguyên hàm của gia tốc, tổng chi phí là nguyên hàm của chi phí biên. Điều kiện ban đầu giúp xác định hằng số C.

Bài 39. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t² + 2 (m/s), t tính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.

Lời giải: Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t): s(t) = t³ + 2t + C. Tại t = 0 vật chưa đi được quãng đường nào nên s(0) = 0 ⇒ C = 0. Vậy s(3) = 27 + 6 = 33 m.

Bài 40. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì phanh, từ đó chuyển động chậm dần với v(t) = 10 − 2t (m/s). Hỏi từ lúc phanh đến khi dừng hẳn ô tô đi được bao nhiêu mét?

Lời giải: Ô tô dừng khi v(t) = 0 ⇔ t = 5 (giây). Quãng đường s(t) = 10t − t² (chọn s(0) = 0). Quãng đường cần tìm: s(5) = 50 − 25 = 25 m.

Bài 41. Chi phí biên để sản xuất sản phẩm thứ x là C'(x) = 0,2x + 10 (nghìn đồng), chi phí cố định là 500 nghìn đồng. Tính tổng chi phí khi sản xuất 100 sản phẩm.

Lời giải: C(x) = 0,1x² + 10x + K. Chi phí cố định ứng với x = 0: C(0) = K = 500. Vậy C(100) = 0,1·10 000 + 1 000 + 500 = 2 500 nghìn đồng (2,5 triệu đồng).

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau, sau đó tự kiểm tra bằng cách đạo hàm.

42. f(x) = 4x³ − 6x² + 1. Đáp án: x⁴ − 2x³ + x + C.
43. f(x) = (x − 1)/x. Đáp án: x − ln|x| + C.
44. f(x) = e^−2x. Đáp án: −(1/2)e^−2x + C.
45. f(x) = sin²x. Đáp án: x/2 − (1/4)sin 2x + C.
46. f(x) = 1/cos²(3x). Đáp án: (1/3)tan 3x + C.
47. f(x) = 5^x. Đáp án: 5^x/ln 5 + C.
48. F(x) là nguyên hàm của f(x) = 6x − 2 với F(2) = 5. Tìm F(x). Đáp án: F(x) = 3x² − 2x − 3.
49. f(x) = x(x² − 1)³ (gợi ý: đổi biến). Đáp án: (x² − 1)⁴/8 + C.
50. f(x) = x sin x (gợi ý: từng phần). Đáp án: −x cos x + sin x + C.

Lộ trình ôn tập gợi ý

• Buổi 1: học thuộc bảng nguyên hàm, làm dạng 1–3.
• Buổi 2: luyện lượng giác (dạng 4) và bài có điều kiện (dạng 5), vì đây là dạng hay xuất hiện trong đề kiểm tra.
• Buổi 3: bài toán thực tế (dạng 8), sau đó chuyển sang tích phân và ứng dụng tính diện tích.
• Nếu muốn nâng cao: luyện thêm đổi biến và từng phần (dạng 6–7).

Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm và tích phân khác nhau thế nào?

Nguyên hàm ∫f(x)dx là một họ hàm số F(x) + C; tích phân xác định từ a đến b là một số, bằng F(b) − F(a). Muốn tính tích phân thường phải tìm nguyên hàm trước.

Vì sao kết quả nguyên hàm phải cộng thêm C?

Vì đạo hàm của hằng số bằng 0, nên nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là nguyên hàm với mọi hằng số C.

Làm sao biết đáp án nguyên hàm của mình đúng?

Lấy đạo hàm kết quả vừa tìm. Nếu thu được đúng hàm số f(x) ban đầu thì kết quả đúng. Hai đáp án chỉ khác nhau một hằng số đều đúng.

Nguyên hàm của 1/x là gì?

Là ln|x| + C, xét trên từng khoảng không chứa 0. Với 1/(ax + b) thì nguyên hàm là (1/a)ln|ax + b| + C.

Bài học liên quan

• Tổng hợp kiến thức Toán 10 Kết nối tri thức: lý thuyết trọng tâm 9 chương
• Bài tập cộng trừ trong phạm vi 10 lớp 1 có đáp án: 7 dạng thường gặp
• Các dạng bài toán tìm x lớp 5 có lời giải chi tiết
• Tìm tỉ số phần trăm của 25 và 40: cách làm và đáp án 62,5%
• Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng: cách làm và bài tập mẫu
• Cho hình bình hành ABCD tâm O: các đẳng thức vectơ đúng và cách chứng minh