Bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có đáp án Toán 11

Trả lời nhanh

Gặp bài đếm, hãy tự hỏi hai câu: có chọn một nhóm con từ n phần tử không, và thứ tự có quan trọng không? Lấy hết n phần tử và có thứ tự là hoán vị (n!). Chọn k phần tử có thứ tự là chỉnh hợp A_n^k. Chọn k phần tử không cần thứ tự là tổ hợp C_n^k. Dưới đây là 30 bài có đáp án để luyện.

Trang này gom 30 bài tập về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, xếp từ dễ đến khó, mỗi bài có đáp số và lời giải ngắn. Nội dung thuộc phần Tổ hợp – Xác suất của chương trình Đại số và Giải tích 11 (chương trình cũ). Trong chương trình GDPT 2018, phần này được học ở lớp 10, nên các bạn lớp 10 cũng làm được.

1. Công thức cần nhớ

Khái niệm	Công thức	Dấu hiệu nhận biết
Hoán vị	P_n = n! = 1·2·…·n	Sắp xếp cả n phần tử, chỉ khác nhau về thứ tự
Chỉnh hợp	A_n^k = n!/(n−k)! (1 ≤ k ≤ n)	Chọn k trong n phần tử rồi sắp xếp, các vị trí có vai trò khác nhau
Tổ hợp	C_n^k = n!/[k!(n−k)!]	Chọn nhóm k phần tử, không quan tâm thứ tự
Hoán vị vòng quanh	(n−1)!	Xếp n người quanh bàn tròn, các ghế không đánh số

Tính chất hay dùng: C_n^k = C_n^n−k; C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1; A_n^k = k!·C_n^k. Hệ thức cuối cho thấy: chỉnh hợp là tổ hợp rồi mới xếp thứ tự.

2. Mẹo nhận dạng nhanh

Đổi chỗ có ra kết quả mới không? Chọn bạn A làm lớp trưởng, B làm lớp phó khác với B làm lớp trưởng, A làm lớp phó. Đây là chỉnh hợp. Chọn hai bạn A, B đi trực nhật thì không phân biệt. Đây là tổ hợp.
“Ít nhất”: thường tính phần bù, lấy tổng trừ trường hợp không thoả.
“Đứng cạnh nhau”: gộp nhóm thành một phần tử, sau đó nhân với số cách xếp trong nhóm.
“Không đứng cạnh nhau”: xếp nhóm kia trước, rồi đưa nhóm cần tách vào các khoảng trống.
Số có nhiều chữ số: xét chữ số có điều kiện (đầu khác 0, cuối chẵn, cuối 0 hoặc 5) trước.

3. Bài tập hoán vị (Bài 1–7)

Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh vào một hàng ngang gồm 6 ghế?
Đáp án: 720. Đây là hoán vị của 6 phần tử: 6! = 720.

Bài 2. Xếp 7 bạn thành hàng ngang, trong đó ba bạn An, Bình, Chi luôn đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Đáp án: 720. Gộp ba bạn thành một nhóm, cùng 4 bạn còn lại thành 5 phần tử: 5! = 120 cách. Trong nhóm đổi chỗ được 3! = 6 cách. Tổng: 120·6 = 720.

Bài 3. Xếp 4 nam và 3 nữ thành hàng ngang sao cho không có hai nữ nào đứng cạnh nhau.
Đáp án: 1440. Xếp 4 nam: 4! = 24 cách, tạo ra 5 khoảng trống (kể cả hai đầu). Chọn 3 khoảng và xếp 3 nữ vào: A₅³ = 60. Tổng: 24·60 = 1440.

Bài 4. Xếp 5 nam và 5 nữ thành hàng ngang sao cho nam và nữ đứng xen kẽ.
Đáp án: 28 800. Có 2 kiểu: nam đứng đầu hoặc nữ đứng đầu. Mỗi kiểu có 5!·5! = 14 400 cách. Tổng: 2·14 400 = 28 800.

Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi quanh một bàn tròn (ghế không đánh số, hai cách xếp trùng nhau khi xoay được thành nhau)?
Đáp án: 120. Cố định một người làm mốc, 5 người còn lại xếp tuỳ ý: 5! = 120.

Bài 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Đáp án: 48. Chữ số cuối là 2 hoặc 4: 2 cách. Bốn chữ số còn lại xếp tuỳ ý: 4! = 24. Tổng: 2·24 = 48.

Bài 7. Giải phương trình (n+2)!/n! = 20 (n ∈ ℕ*).
Đáp án: n = 3. Rút gọn: (n+1)(n+2) = 20, tức n² + 3n − 18 = 0, suy ra n = 3 hoặc n = −6. Loại n = −6. Thử lại: 4·5 = 20 ✓.

4. Bài tập chỉnh hợp (Bài 8–15)

Bài 8. Từ các chữ số 1, 2, …, 7 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Đáp án: 210. A₇³ = 7·6·5 = 210.

Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau (dùng các chữ số 0–9)?
Đáp án: 648. Chữ số hàng trăm: 9 cách (khác 0). Hàng chục: 9 cách. Hàng đơn vị: 8 cách. Tổng: 9·9·8 = 648. Lưu ý: không dùng A₁₀³ = 720 vì số này có cả trường hợp bắt đầu bằng 0.

Bài 10. Một lớp có 10 bạn đủ tiêu chuẩn. Có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư (mỗi bạn giữ không quá một chức)?
Đáp án: 720. Ba chức vụ khác nhau nên có thứ tự: A₁₀³ = 10·9·8 = 720.

Bài 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Đáp án: 952. Chia hai trường hợp:

Tận cùng là 0: ba chữ số đầu chọn từ 9 chữ số còn lại, có A₉³ = 504 cách.
Tận cùng là 5: chữ số đầu khác 0 và khác 5 nên có 8 cách. Hai chữ số giữa có 8·7 = 56 cách, tức 8·56 = 448.

Tổng: 504 + 448 = 952.

Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
Đáp án: 2296. Tận cùng 0: A₉³ = 504. Tận cùng 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách): chữ số đầu có 8 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), hai chữ số giữa có 8·7 cách, tức 4·8·8·7 = 1792. Tổng: 504 + 1792 = 2296. Kiểm tra: tổng số có 4 chữ số khác nhau là 9·9·8·7 = 4536, số lẻ là 5·8·8·7 = 2240, và 4536 − 2240 = 2296 ✓.

Bài 13. Giải phương trình A_n² = 56.
Đáp án: n = 8. Điều kiện n ≥ 2. Ta có n(n−1) = 56, tức n² − n − 56 = 0, nên n = 8 hoặc n = −7. Loại n = −7.

Bài 14. Giải phương trình A_n³ = 20n.
Đáp án: n = 6. Điều kiện n ≥ 3. Ta có n(n−1)(n−2) = 20n. Chia hai vế cho n (n > 0): (n−1)(n−2) = 20, tức n² − 3n − 18 = 0, nên n = 6 hoặc n = −3. Chọn n = 6.

Bài 15. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000?
Đáp án: 2520. Chữ số đầu thuộc {5, 6, 7, 8, 9}: 5 cách. Ba chữ số sau chọn từ 9 chữ số còn lại: A₉³ = 504. Tổng: 5·504 = 2520. Số 5000 không có 4 chữ số khác nhau nên không cần loại.

5. Bài tập tổ hợp (Bài 16–28)

Bài 16. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh để đi dự trại hè?
Đáp án: 495. C₁₂⁴ = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495.

Bài 17. Lớp có 20 nam và 15 nữ. Chọn 5 bạn gồm 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách?
Đáp án: 119 700. C₂₀³·C₁₅² = 1140·105 = 119 700.

Bài 18. Từ 8 nam và 6 nữ, chọn 5 người sao cho có ít nhất 1 nữ.
Đáp án: 1946. Dùng phần bù: C₁₄⁵ − C₈⁵ = 2002 − 56 = 1946.

Bài 19. Từ 6 nam và 4 nữ, chọn 4 người sao cho có cả nam và nữ.
Đáp án: 194. Tổng: C₁₀⁴ = 210. Trừ trường hợp toàn nam C₆⁴ = 15 và toàn nữ C₄⁴ = 1. Kết quả: 210 − 15 − 1 = 194.

Bài 20. Một đa giác lồi có 12 cạnh có bao nhiêu đường chéo?
Đáp án: 54. Nối 2 đỉnh bất kì: C₁₂² = 66 đoạn, trong đó có 12 cạnh. Số đường chéo: 66 − 12 = 54.

Bài 21. Cho 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng, trong đó có đúng 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó?
Đáp án: 116. C₁₀³ − C₄³ = 120 − 4 = 116.

Bài 22. Giải phương trình C_n² = 45.
Đáp án: n = 10. n(n−1)/2 = 45 nên n(n−1) = 90, suy ra n = 10 (loại n = −9).

Bài 23. Giải phương trình C_n¹ + C_n² = 15.
Đáp án: n = 5. n + n(n−1)/2 = 15, suy ra n² + n − 30 = 0, nên n = 5 (loại n = −6). Thử lại: 5 + 10 = 15 ✓.

Bài 24. Giải phương trình C_n+1³ − C_n³ = 21.
Đáp án: n = 7. Theo công thức Pasca, C_n+1³ = C_n³ + C_n², nên vế trái bằng C_n². Từ n(n−1) = 42 suy ra n = 7.

Bài 25. Hộp có 5 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi cùng màu?
Đáp án: 15. C₅³ + C₄³ + C₃³ = 10 + 4 + 1 = 15. (Nếu hỏi 3 bi đủ ba màu thì được 5·4·3 = 60 cách.)

Bài 26. Chia 8 người thành hai nhóm, mỗi nhóm 4 người, hai nhóm không phân biệt. Có bao nhiêu cách?
Đáp án: 35. Chọn nhóm thứ nhất: C₈⁴ = 70, nhóm còn lại đã xác định. Vì hai nhóm không phân biệt nên mỗi cách chia bị đếm 2 lần: 70/2 = 35.

Bài 27. Từ 5 nam và 4 nữ, chọn một tổ 4 người có ít nhất 2 nữ.
Đáp án: 81.

2 nữ, 2 nam: C₄²·C₅² = 6·10 = 60.
3 nữ, 1 nam: C₄³·C₅¹ = 4·5 = 20.
4 nữ: C₄⁴ = 1.

Tổng: 60 + 20 + 1 = 81.

Bài 28. Có 4 đường thẳng song song nằm ngang cắt 5 đường thẳng song song thẳng đứng. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành?
Đáp án: 60. Mỗi hình chữ nhật xác định bởi 2 đường ngang và 2 đường dọc: C₄²·C₅² = 6·10 = 60.

6. Bài tổng hợp (Bài 29–30)

Bài 29. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
Đáp án: 156.

Tận cùng 0: A₅³ = 60.
Tận cùng 2 hoặc 4 (2 cách): chữ số đầu có 4 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), hai chữ số giữa có 4·3 cách, tức 2·4·4·3 = 96.

Tổng: 60 + 96 = 156.

Bài 30. Từ 6 nam và 4 nữ, chọn 3 nam và 2 nữ rồi xếp 5 người đó thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách?
Đáp án: 14 400. Bước 1 chọn người: C₆³·C₄² = 20·6 = 120. Bước 2 xếp hàng: 5! = 120. Tổng: 120·120 = 14 400. Bài này kết hợp tổ hợp (chọn) và hoán vị (xếp).

7. Lỗi sai thường gặp

Nhầm chỉnh hợp với tổ hợp. Nếu kết quả lệch đúng k! lần, hãy xem lại có cần thứ tự không.
Quên điều kiện chữ số 0 đứng đầu. Xem Bài 9, 12, 29: luôn tách trường hợp có chữ số 0.
Bỏ điều kiện của nghiệm phương trình. Với A_n^k và C_n^k phải có n ≥ k và n ∈ ℕ*. Nghiệm âm hoặc nhỏ hơn k phải loại.
Đếm trùng khi chia nhóm. Hai nhóm cùng số lượng và không phân biệt thì phải chia 2 (Bài 26).
Cộng nhầm với nhân. Công việc chia theo trường hợp thì cộng. Công việc gồm nhiều bước liên tiếp thì nhân.

8. Đề tự luyện (có đáp số)

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 2 bạn nữ thành hàng ngang sao cho hai bạn nữ đứng cạnh nhau? Đáp số: 1440 (6!·2!).
Giải phương trình C_n² + A_n² = 45. Đáp số: n = 6 (vì 3n(n−1)/2 = 45, nên n(n−1) = 30).
Một tổ có 7 học sinh. Chọn 3 bạn đi lao động. Có bao nhiêu cách để bạn trưởng tổ luôn có mặt? Đáp số: 15 (C₆²).

Câu hỏi thường gặp

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khác nhau ở điểm nào?

Hoán vị là sắp xếp tất cả n phần tử nên số cách là n!. Chỉnh hợp là chọn k phần tử rồi sắp xếp thứ tự, tính bằng A(n,k) = n!/(n−k)!. Tổ hợp là chọn k phần tử mà không quan tâm thứ tự, tính bằng C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Vì thế A(n,k) = k!·C(n,k).

Khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp?

Hãy hoán đổi vị trí các phần tử đã chọn. Nếu kết quả khác đi (như chọn lớp trưởng, lớp phó) thì dùng chỉnh hợp. Nếu kết quả không đổi (như chọn nhóm đi trực nhật) thì dùng tổ hợp.

Với bài có điều kiện ít nhất, giải thế nào cho nhanh?

Thường dùng phần bù: lấy tổng số cách chọn không điều kiện trừ số cách không thoả điều kiện. Ví dụ, chọn có ít nhất 1 nữ thì lấy tổng số cách trừ số cách chọn toàn nam.

Số cách xếp n người quanh bàn tròn là bao nhiêu?

Là (n−1)! khi ghế không đánh số và các cách xếp trùng nhau khi xoay được thành nhau. Ta cố định một người làm mốc rồi xếp n−1 người còn lại.