Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 4, u(n+1) = un + n: tìm số hạng thứ năm

Với dãy số (un) xác định bởi u1 = 4 và un+1 = un + n, ta tính lần lượt u2 = 5, u3 = 7, u4 = 10, u5 = 14. Vậy số hạng thứ năm của dãy là u5 = 14. Mỗi số hạng được suy ra từ số hạng liền trước cộng thêm chỉ số n của số hạng trước đó.

Cho dãy số un u1 = 4, un+1 = un + n: tìm số hạng thứ 5

Trả lời nhanh

Với dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 4 và u_n+1 = u_n + n, ta tính lần lượt u₂ = 5, u₃ = 7, u₄ = 10, u₅ = 14. Vậy số hạng thứ năm của dãy là u₅ = 14. Mỗi số hạng được suy ra từ số hạng liền trước cộng thêm chỉ số n của số hạng trước đó.

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 4 và u_n+1 = u_n + n với mọi n ≥ 1. Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Lưu ý: đề được hiểu theo dạng phổ biến nhất của bài này là u_n+1 = u_n + n. Nếu đề của bạn có dấu khác (trừ, nhân), cách làm bên dưới vẫn y nguyên, chỉ thay phép toán ở bước tính.

Nhận dạng: dãy số cho bằng công thức truy hồi

Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi gồm hai phần:

Cho trước số hạng đầu (ở đây u₁ = 4).
Cho hệ thức biểu diễn u_n+1 theo u_n (hoặc theo vài số hạng đứng trước) – ở đây u_n+1 = u_n + n.

Muốn có số hạng thứ k, ta phải đi từ u₁ lên dần, không thể “nhảy cóc” nếu chưa có công thức tổng quát.

Lời giải chi tiết

Thay lần lượt n = 1, 2, 3, 4 vào hệ thức u_n+1 = u_n + n:

n = 1: u₂ = u₁ + 1 = 4 + 1 = 5.
n = 2: u₃ = u₂ + 2 = 5 + 2 = 7.
n = 3: u₄ = u₃ + 3 = 7 + 3 = 10.
n = 4: u₅ = u₄ + 4 = 10 + 4 = 14.

Vậy bốn số hạng đầu… chính xác hơn, năm số hạng đầu của dãy là 4; 5; 7; 10; 14. Số hạng thứ năm là u₅ = 14.

n	1	2	3	4	5
u_n	4	5	7	10	14
Độ tăng u_n+1 − u_n	1	2	3	4	…

Kiểm tra bằng công thức tổng quát

Từ hệ thức, u_n+1 − u_n = n. Cộng các hiệu từ 1 đến n − 1:

u_n − u₁ = 1 + 2 + … + (n − 1) = n(n − 1)/2.

Suy ra u_n = 4 + n(n − 1)/2.

Thử với n = 5: u₅ = 4 + 5·4/2 = 4 + 10 = 14. Khớp với kết quả tính trực tiếp. Thử thêm n = 4: 4 + 4·3/2 = 10, cũng đúng.

Lỗi sai thường gặp

Cộng nhầm chỉ số: khi tính u₂ phải cộng n = 1 (chỉ số của u₁), không phải cộng 2. Nếu cộng 2 sẽ lệch dần đến u₅.
Dừng sớm: “số hạng thứ năm” là u₅, phải tính đủ 4 bước từ u₁. Nhiều bạn dừng ở u₄ = 10.
Đọc u_n+1 thành u_n + 1: ở đây số cộng thêm là n (thay đổi theo vị trí), không phải hằng số 1; dãy này không phải cấp số cộng.

Mẹo nhớ

Viết sẵn một dòng “n – u_n – số cộng thêm” rồi điền từng cột như bảng trên. Số cộng thêm luôn bằng chỉ số của số hạng đang đứng trước, nên bạn sẽ không bị nhầm. Với bài có hệ thức dạng u_n+1 = u_n + f(n), cứ cộng dồn các f(n) để tìm công thức tổng quát.

Bài luyện tập

Cho u₁ = 2, u_n+1 = u_n + 2n. Tìm u₅.
Đáp án: u₂ = 4, u₃ = 8, u₄ = 14, u₅ = 22 (công thức u_n = 2 + n(n − 1) cho 2 + 20 = 22).
Cho u₁ = 1, u_n+1 = 2u_n + 1. Tìm u₅.
Đáp án: 1; 3; 7; 15; 31 nên u₅ = 31.
Cho u₁ = 3, u_n+1 = u_n − n. Tìm u₅.
Đáp án: u₂ = 2, u₃ = 0, u₄ = −3, u₅ = −7.

Câu hỏi thường gặp

Số hạng thứ năm của dãy u1 = 4, u(n+1) = un + n là bao nhiêu?

Là u5 = 14. Các số hạng lần lượt là 4; 5; 7; 10; 14.

Dãy số cho bằng công thức truy hồi là gì?

Là dãy cho trước số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) và một hệ thức biểu diễn số hạng sau theo các số hạng đứng trước nó.

Có công thức tổng quát cho dãy này không?

Có. Cộng các hiệu u(k+1) − uk = k từ k = 1 đến n − 1 được un = 4 + n(n − 1)/2.

Dãy u1 = 4, u(n+1) = un + n có phải cấp số cộng không?

Không. Hiệu hai số hạng liên tiếp là n, thay đổi theo n (1, 2, 3, 4, …) nên không phải hằng số.