Lớp 9Toán

50 bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án

Trả lời nhanh

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: (1) nhân hai vế mỗi phương trình với số thích hợp để hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau; (2) trừ hoặc cộng vế theo vế để khử ẩn đó, được phương trình một ẩn; (3) giải, thay ngược tìm ẩn còn lại và kết luận nghiệm. Dưới đây là 50 bài tập chia 8 dạng, 40 bài có lời giải chi tiết.

Phương pháp cộng đại số là gì?

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c và a’x + b’y = c’. Phương pháp cộng đại số dựa trên một ý rất đơn giản: nếu hai đẳng thức đúng thì tổng (hoặc hiệu) vế theo vế của chúng cũng đúng. Khi cộng hay trừ khéo léo, một ẩn sẽ “biến mất”, hệ hai ẩn trở thành phương trình một ẩn.

Các bước giải:

  1. Cân bằng hệ số: nhân hai vế của một hoặc cả hai phương trình với số khác 0 thích hợp sao cho hệ số của x (hoặc của y) trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
  2. Khử ẩn: hệ số đối nhau thì cộng vế theo vế; hệ số bằng nhau thì trừ vế theo vế.
  3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
  4. Thay ngược giá trị tìm được vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại, kết luận nghiệm (x; y) và thử lại.

Mẹo nhớ: “Đối thì cộng, bằng thì trừ”. Muốn khử ẩn nào, em tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hệ số của ẩn đó rồi nhân mỗi phương trình với thương tương ứng.

Khi nào nên dùng phương pháp cộng, khi nào dùng phương pháp thế?

Đặc điểm của hệ Nên dùng Lí do
Có ẩn với hệ số 1 hoặc −1 Phương pháp thế Rút ẩn ngay, không xuất hiện phân số
Hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau Phương pháp cộng đại số Cộng/trừ một bước là khử được ẩn
Mọi hệ số đều khác ±1 (ví dụ 3x + 2y = 7, 2x + 3y = 3) Phương pháp cộng đại số Tránh phải rút ẩn dạng phân số
Hệ chứa ẩn ở mẫu, trong căn Đặt ẩn phụ rồi dùng cộng hoặc thế Đưa về hệ bậc nhất hai ẩn mới

Hai phương pháp luôn cho cùng một nghiệm. Nếu em muốn luyện thêm cách rút và thế, hãy xem tài liệu 50 bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp thế; còn trang này tập trung vào kĩ năng cân bằng hệ số và cộng/trừ vế theo vế.

Lỗi sai thường gặp khi dùng phương pháp cộng đại số

  • Chỉ nhân một vế: nhân 3 vào vế trái mà quên nhân vào vế phải. Phải nhân cả hai vế.
  • Sai dấu khi trừ: trừ vế theo vế nghĩa là trừ từng hạng tử; ví dụ 1 − (−3) = 4 chứ không phải −2. Nếu sợ nhầm, em đổi dấu cả phương trình thứ hai rồi cộng.
  • Cộng khi hệ số bằng nhau: 2x + 5y = 1 và 2x − 3y = 9 mà cộng lại thì được 4x + 2y = 10, chưa khử được ẩn nào.
  • Kết luận thiếu: tìm được x rồi dừng, quên tìm y; hoặc viết nghiệm ngược thứ tự (y; x).
  • Quên điều kiện khi đặt ẩn phụ (ẩn ở mẫu khác 0, biểu thức trong căn không âm).

Cách nhận biết hệ vô nghiệm, vô số nghiệm

Sau khi cộng/trừ, nếu cả hai ẩn đều bị khử:

  • Được đẳng thức dạng 0x + 0y = k với k ≠ 0 (vô lí) → hệ vô nghiệm; về hình học, hai đường thẳng song song.
  • Được 0x + 0y = 0 (luôn đúng) → hệ có vô số nghiệm; hai đường thẳng trùng nhau.

Có thể đoán trước bằng tỉ số hệ số (khi a’, b’, c’ khác 0): a/a’ ≠ b/b’ thì hệ có nghiệm duy nhất; a/a’ = b/b’ ≠ c/c’ thì vô nghiệm; a/a’ = b/b’ = c/c’ thì vô số nghiệm.

Dạng 1: Hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau

Không cần nhân, cộng hoặc trừ ngay vế theo vế.

Bài 1. Giải hệ phương trình: x + y = 7 và x − y = 1.

Lời giải: Hệ số của y đối nhau (1 và −1) nên cộng vế theo vế: 2x = 8 ⇔ x = 4. Thay vào x + y = 7 được y = 3. Vậy nghiệm (4; 3).

Bài 2. Giải hệ phương trình: 3x + 2y = 12 và 5x − 2y = 4.

Lời giải: Cộng vế theo vế để khử y: 8x = 16 ⇔ x = 2. Thay vào phương trình đầu: 6 + 2y = 12 ⇔ y = 3. Nghiệm (2; 3).

Bài 3. Giải hệ phương trình: 2x + 5y = 1 và 2x − 3y = 9.

Lời giải: Hệ số của x bằng nhau nên trừ vế theo vế (phương trình đầu trừ phương trình sau): 8y = −8 ⇔ y = −1. Thay vào 2x − 3y = 9: 2x + 3 = 9 ⇔ x = 3. Nghiệm (3; −1).

Bài 4. Giải hệ phương trình: 4x − 3y = 5 và −4x + 7y = 3.

Lời giải: Cộng vế theo vế: 4y = 8 ⇔ y = 2. Thay vào phương trình đầu: 4x − 6 = 5 ⇔ x = 11/4. Nghiệm (11/4; 2). Thử lại: −11 + 14 = 3 ✔.

Bài 5. Giải hệ phương trình: x + 3y = 10 và −x + 2y = 5.

Lời giải: Cộng vế theo vế: 5y = 15 ⇔ y = 3. Suy ra x = 10 − 9 = 1. Nghiệm (1; 3).

Bài 6. Giải hệ phương trình: 7x − 2y = 1 và 3x − 2y = −3.

Lời giải: Trừ vế theo vế: (7x − 3x) + (−2y + 2y) = 1 − (−3) ⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1. Thay vào: 7 − 2y = 1 ⇔ y = 3. Nghiệm (1; 3). Chú ý dấu khi trừ: 1 − (−3) = 4.

Bài 7. Giải hệ phương trình: x√2 + y = 3 và x√2 − y = 1.

Lời giải: Cộng vế theo vế: 2x√2 = 4 ⇔ x = 2/√2 = √2. Thay vào phương trình đầu: √2·√2 + y = 3 ⇔ 2 + y = 3 ⇔ y = 1. Nghiệm (√2; 1).

Bài 8. Giải hệ phương trình: 2x − 3y = −13 và −2x + y = 7.

Lời giải: Cộng vế theo vế: −2y = −6 ⇔ y = 3. Thay vào phương trình đầu: 2x − 9 = −13 ⇔ x = −2. Nghiệm (−2; 3).

Dạng 2: Nhân một phương trình rồi cộng/trừ

Hệ số của một ẩn ở phương trình này là bội của hệ số ẩn đó ở phương trình kia. Chỉ cần nhân một phương trình.

Bài 9. Giải hệ phương trình: 2x + y = 5 và 3x − 2y = 4.

Lời giải: Nhân hai vế phương trình đầu với 2: 4x + 2y = 10. Cộng với phương trình thứ hai: 7x = 14 ⇔ x = 2. Suy ra y = 5 − 4 = 1. Nghiệm (2; 1).

Bài 10. Giải hệ phương trình: x + 2y = 4 và 3x + 5y = 9.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 3: 3x + 6y = 12. Lấy phương trình này trừ phương trình thứ hai: y = 3. Suy ra x = 4 − 6 = −2. Nghiệm (−2; 3).

Bài 11. Giải hệ phương trình: 5x + 3y = 7 và x − y = −5.

Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với 3: 3x − 3y = −15. Cộng với phương trình đầu: 8x = −8 ⇔ x = −1. Từ x − y = −5 suy ra y = 4. Nghiệm (−1; 4).

Bài 12. Giải hệ phương trình: 4x − 3y = 11 và 2x + y = 3.

Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với 3: 6x + 3y = 9. Cộng với phương trình đầu: 10x = 20 ⇔ x = 2. Suy ra y = 3 − 4 = −1. Nghiệm (2; −1).

Bài 13. Giải hệ phương trình: 3x + 4y = −5 và 6x − y = 8.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 2: 6x + 8y = −10. Trừ phương trình thứ hai: 9y = −18 ⇔ y = −2. Thay vào 6x − y = 8: 6x + 2 = 8 ⇔ x = 1. Nghiệm (1; −2).

Bài 14. Giải hệ phương trình: 2x + 7y = 3 và x + 3y = 1.

Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với 2: 2x + 6y = 2. Lấy phương trình đầu trừ phương trình này: y = 1. Suy ra x = 1 − 3 = −2. Nghiệm (−2; 1).

Dạng 3: Nhân cả hai phương trình

Hệ số không là bội của nhau: chọn ẩn cần khử, lấy BCNN hai hệ số của ẩn đó, nhân mỗi phương trình với số phù hợp.

Bài 15. Giải hệ phương trình: 3x + 2y = 7 và 2x + 3y = 3.

Lời giải: Khử y: nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 2 được 9x + 6y = 21 và 4x + 6y = 6. Trừ vế theo vế: 5x = 15 ⇔ x = 3. Thay vào: 9 + 2y = 7 ⇔ y = −1. Nghiệm (3; −1).

Bài 16. Giải hệ phương trình: 5x − 3y = 1 và 2x + 5y = 19.

Lời giải: Khử y: nhân phương trình đầu với 5 và phương trình sau với 3: 25x − 15y = 5 và 6x + 15y = 57. Cộng vế theo vế: 31x = 62 ⇔ x = 2. Suy ra 5y = 19 − 4 = 15 ⇔ y = 3. Nghiệm (2; 3).

Bài 17. Giải hệ phương trình: 4x + 3y = 6 và 3x + 4y = 8.

Lời giải: Khử x: nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 4: 12x + 9y = 18 và 12x + 16y = 32. Lấy phương trình sau trừ phương trình trước: 7y = 14 ⇔ y = 2. Thay vào: 4x + 6 = 6 ⇔ x = 0. Nghiệm (0; 2).

Bài 18. Giải hệ phương trình: 7x − 4y = 2 và 5x − 6y = −8.

Lời giải: Khử y (BCNN của 4 và 6 là 12): nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 2: 21x − 12y = 6 và 10x − 12y = −16. Trừ vế theo vế: 11x = 22 ⇔ x = 2. Thay vào: 14 − 4y = 2 ⇔ y = 3. Nghiệm (2; 3).

Bài 19. Giải hệ phương trình: 2x − 5y = 4 và 3x − 2y = −5.

Lời giải: Khử x: nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 2: 6x − 15y = 12 và 6x − 4y = −10. Trừ vế theo vế: −11y = 22 ⇔ y = −2. Thay vào: 2x + 10 = 4 ⇔ x = −3. Nghiệm (−3; −2).

Bài 20. Giải hệ phương trình: 6x + 5y = 7 và 4x − 3y = 11.

Lời giải: Khử x (BCNN của 6 và 4 là 12): nhân phương trình đầu với 2, phương trình sau với 3: 12x + 10y = 14 và 12x − 9y = 33. Trừ vế theo vế: 19y = −19 ⇔ y = −1. Thay vào: 6x − 5 = 7 ⇔ x = 2. Nghiệm (2; −1).

Dạng 4: Hệ cần biến đổi trước (có ngoặc, phân số, số thập phân)

Đưa từng phương trình về dạng ax + by = c (phá ngoặc, quy đồng, nhân 10) rồi mới cộng đại số.

Bài 21. Giải hệ phương trình: 2(x + y) + 3(x − y) = 4 và (x + y) + 2(x − y) = 5.

Lời giải: Phá ngoặc, thu gọn: 5x − y = 4 và 3x − y = 5. Trừ vế theo vế: 2x = −1 ⇔ x = −1/2. Từ 5x − y = 4 suy ra y = 5x − 4 = −13/2. Nghiệm (−1/2; −13/2). Cách khác: đặt u = x + y, v = x − y được hệ 2u + 3v = 4 và u + 2v = 5, giải ra u = −7, v = 6 rồi suy ra x, y.

Bài 22. Giải hệ phương trình: 0,3x + 0,5y = 3 và 1,5x − 2y = 1,5.

Lời giải: Nhân hai phương trình với 10 để bỏ dấu phẩy: 3x + 5y = 30 và 15x − 20y = 15; chia phương trình sau cho 5: 3x − 4y = 3. Trừ vế theo vế: 9y = 27 ⇔ y = 3. Suy ra 3x = 30 − 15 ⇔ x = 5. Nghiệm (5; 3).

Bài 23. Giải hệ phương trình: x/2 + y/3 = 3 và x/4 − y/6 = 1/2.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 6 và phương trình sau với 12: 3x + 2y = 18 và 3x − 2y = 6. Cộng vế theo vế: 6x = 24 ⇔ x = 4. Suy ra 2y = 18 − 12 ⇔ y = 3. Nghiệm (4; 3).

Bài 24. Giải hệ phương trình: (x + 2)(y − 1) = xy + 1 và (x − 3)(y + 2) = xy − 4.

Lời giải: Khai triển phương trình đầu: xy − x + 2y − 2 = xy + 1 ⇔ −x + 2y = 3. Phương trình sau: xy + 2x − 3y − 6 = xy − 4 ⇔ 2x − 3y = 2. Nhân phương trình −x + 2y = 3 với 2 rồi cộng với 2x − 3y = 2: y = 8. Suy ra x = 2y − 3 = 13. Nghiệm (13; 8).

Bài 25. Giải hệ phương trình: 3(x − 1) + 2(y + 1) = 10 và 2(x + 1) − (y − 2) = 9.

Lời giải: Thu gọn: 3x + 2y = 11 và 2x − y = 5. Nhân phương trình sau với 2: 4x − 2y = 10, cộng với phương trình đầu: 7x = 21 ⇔ x = 3. Suy ra y = 2·3 − 5 = 1. Nghiệm (3; 1).

Dạng 5: Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Bài 26. Giải hệ phương trình: 2x − 3y = 5 và −4x + 6y = 1.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 2: 4x − 6y = 10. Cộng với phương trình sau: 0x + 0y = 11, vô lí. Vậy hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song).

Bài 27. Giải hệ phương trình: x − 2y = 3 và −3x + 6y = −9.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 3: 3x − 6y = 9. Cộng với phương trình sau: 0x + 0y = 0, luôn đúng. Hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát (2y + 3; y) với y ∈ ℝ (hai đường thẳng trùng nhau).

Bài 28. Giải hệ phương trình: 4x − 2y = 1 và 2x − y = 3.

Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với 2: 4x − 2y = 6. Trừ cho phương trình đầu: 0 = 5, vô lí. Hệ vô nghiệm.

Dạng 6: Đặt ẩn phụ đưa về hệ bậc nhất

Khi ẩn nằm ở mẫu hoặc trong căn, đặt ẩn phụ cho biểu thức lặp lại, giải hệ mới bằng phương pháp cộng, sau đó quay lại tìm x, y và đối chiếu điều kiện.

Bài 29. Giải hệ phương trình: 1/x + 1/y = 5 và 3/x − 2/y = 0.

Lời giải: Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0. Đặt u = 1/x, v = 1/y, hệ trở thành u + v = 5 và 3u − 2v = 0. Nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng: 5u = 10 ⇔ u = 2, suy ra v = 3. Do đó x = 1/2, y = 1/3 (thoả điều kiện). Nghiệm (1/2; 1/3).

Bài 30. Giải hệ phương trình: 2/(x − 1) + 1/(y + 1) = 3 và 3/(x − 1) − 2/(y + 1) = 1.

Lời giải: Điều kiện: x ≠ 1, y ≠ −1. Đặt u = 1/(x − 1), v = 1/(y + 1): 2u + v = 3 và 3u − 2v = 1. Nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng: 7u = 7 ⇔ u = 1, suy ra v = 1. Khi đó x − 1 = 1 ⇔ x = 2 và y + 1 = 1 ⇔ y = 0. Nghiệm (2; 0).

Bài 31. Giải hệ phương trình: 2√x + 3√y = 13 và 3√x − √y = 3.

Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0. Đặt u = √x, v = √y (u, v ≥ 0): 2u + 3v = 13 và 3u − v = 3. Nhân phương trình sau với 3 rồi cộng: 11u = 22 ⇔ u = 2, suy ra v = 3u − 3 = 3. Vậy √x = 2, √y = 3 ⇔ x = 4, y = 9. Nghiệm (4; 9).

Bài 32. Giải hệ phương trình: 2/(x + y) + 4/(x − y) = 2 và 6/(x + y) − 4/(x − y) = 2.

Lời giải: Điều kiện: x + y ≠ 0, x − y ≠ 0. Đặt a = 1/(x + y), b = 1/(x − y): 2a + 4b = 2 và 6a − 4b = 2. Cộng vế theo vế: 8a = 4 ⇔ a = 1/2; thay vào: 4b = 2 − 1 ⇔ b = 1/4. Suy ra x + y = 2 và x − y = 4, cộng lại được 2x = 6 ⇔ x = 3, y = −1. Nghiệm (3; −1).

Dạng 7: Tìm tham số, tìm hệ số đường thẳng

Bài 33. Tìm a, b biết hệ ax + by = 8 và bx + ay = 7 có nghiệm (x; y) = (2; 1).

Lời giải: Thay x = 2, y = 1 vào hệ: 2a + b = 8 và a + 2b = 7. Nhân phương trình đầu với 2: 4a + 2b = 16, trừ phương trình sau: 3a = 9 ⇔ a = 3. Suy ra b = 8 − 6 = 2. Vậy a = 3, b = 2.

Bài 34. Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 3) và B(−2; −3).

Lời giải: Đường thẳng đi qua A nên a + b = 3; đi qua B nên −2a + b = −3. Trừ vế theo vế: 3a = 6 ⇔ a = 2, suy ra b = 1. Đường thẳng cần tìm: y = 2x + 1.

Bài 35. Cho hệ x + y = m và 2x − y = 5. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn x = 2y.

Lời giải: Cộng vế theo vế: 3x = m + 5 ⇔ x = (m + 5)/3, suy ra y = m − x = (2m − 5)/3. Điều kiện x = 2y ⇔ m + 5 = 2(2m − 5) ⇔ m + 5 = 4m − 10 ⇔ m = 5. Thử lại với m = 5: x = 10/3, y = 5/3, đúng là x = 2y.

Bài 36. Tìm m để hệ mx + 2y = 1 và 2x + y = 3 vô nghiệm.

Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với 2: 4x + 2y = 6. Trừ cho phương trình đầu: (4 − m)x = 5. Hệ vô nghiệm khi phương trình này vô nghiệm, tức 4 − m = 0 ⇔ m = 4 (lúc đó 0x = 5 vô lí). Vậy m = 4.

Dạng 8: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ba bước: chọn ẩn và đặt điều kiện; lập hai phương trình từ hai dữ kiện; giải hệ (thường bằng cộng đại số) rồi đối chiếu điều kiện và trả lời.

Bài 37. Tổng của hai số bằng 156. Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6 và số dư là 9. Tìm hai số đó.

Lời giải: Gọi số lớn là x, số nhỏ là y (x, y nguyên dương, y > 9). Ta có x + y = 156 và x = 6y + 9 ⇔ x − 6y = 9. Trừ vế theo vế: 7y = 147 ⇔ y = 21, suy ra x = 135. Thử lại: 135 = 6·21 + 9 ✔. Hai số cần tìm là 135 và 21.

Bài 38. Mua 3 quyển vở và 2 chiếc bút hết 36 000 đồng; mua 5 quyển vở và 4 chiếc bút cùng loại hết 64 000 đồng. Tính giá một quyển vở và một chiếc bút.

Lời giải: Gọi giá một quyển vở là x, một chiếc bút là y (nghìn đồng, x, y > 0). Ta có 3x + 2y = 36 và 5x + 4y = 64. Nhân phương trình đầu với 2: 6x + 4y = 72, trừ phương trình sau: x = 8, suy ra 2y = 36 − 24 ⇔ y = 6. Vậy vở giá 8 000 đồng, bút giá 6 000 đồng.

Bài 39. Một ca nô xuôi dòng 3 giờ được 90 km và ngược dòng 4 giờ được 104 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Lời giải: Gọi vận tốc riêng của ca nô là x, vận tốc dòng nước là y (km/h, x > y > 0). Vận tốc xuôi dòng x + y, ngược dòng x − y. Ta có 3(x + y) = 90 ⇔ x + y = 30 và 4(x − y) = 104 ⇔ x − y = 26. Cộng vế theo vế: 2x = 56 ⇔ x = 28, suy ra y = 2. Vận tốc riêng 28 km/h, dòng nước 2 km/h.

Bài 40. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Lời giải: Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y (m, x > y > 0). Nửa chu vi: x + y = 17. Diện tích mới: (x + 3)(y + 2) = xy + 45 ⇔ 2x + 3y + 6 = 45 ⇔ 2x + 3y = 39. Nhân phương trình đầu với 2 rồi lấy 2x + 3y = 39 trừ đi: y = 5, suy ra x = 12. Chiều dài 12 m, chiều rộng 5 m.

Bài tập tự luyện (có đáp số)

Em tự giải bằng phương pháp cộng đại số, rồi so với đáp số. Có thể dùng máy tính cầm tay để kiểm tra nhanh nghiệm, nhưng bài tự luận vẫn phải trình bày đủ các bước.

  1. Giải hệ: x + 4y = 9 và 3x − 4y = −1. Đáp số: (2; 7/4).
  2. Giải hệ: 2x + 3y = −2 và 3x − 2y = −3. Đáp số: (−1; 0).
  3. Giải hệ: 5x + 2y = 4 và 3x − 4y = 18. Đáp số: (2; −3).
  4. Giải hệ: 0,2x + 0,1y = 0,3 và 3x + y = 5. Đáp số: (2; −1).
  5. Giải hệ: x/3 + y/4 = 2 và x/6 − y/2 = −3. Đáp số: (6/5; 32/5).
  6. Giải hệ: 3x − 6y = 9 và −x + 2y = −3. Đáp số: Vô số nghiệm, nghiệm tổng quát (2y + 3; y), y ∈ ℝ.
  7. Giải hệ: 1/x − 1/y = 1 và 3/x + 4/y = 5. Đáp số: (7/9; 7/2).
  8. Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua M(2; 5) và N(−1; −4). Đáp số: a = 3, b = −1.
  9. Cho hệ 2x − y = m và x + y = 4. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn x − y = 2. Đáp số: m = 5 (khi đó nghiệm là (3; 1)).
  10. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 59 và ba lần số thứ hai lớn hơn hai lần số thứ nhất là 7. Đáp số: Số thứ nhất 34, số thứ hai 25.

Kinh nghiệm làm bài nhanh và chính xác

  • Trước khi giải, nhìn lướt cả hai phương trình để chọn ẩn “dễ khử” nhất (hệ số nhỏ, cùng dấu hoặc trái dấu rõ ràng).
  • Nếu hệ số lớn, có thể chia cả phương trình cho ước chung trước (ví dụ 15x − 20y = 15 chia 5 thành 3x − 4y = 3).
  • Luôn thử lại nghiệm vào cả hai phương trình ban đầu, không phải phương trình đã biến đổi.
  • Với bài toán thực tế, đừng quên đơn vị và kiểm tra điều kiện của ẩn (số nguyên dương, vận tốc dương, chiều dài lớn hơn chiều rộng…).

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp cộng đại số gồm mấy bước?

Gồm các bước: nhân các phương trình với số thích hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau; cộng hoặc trừ vế theo vế để khử ẩn đó; giải phương trình một ẩn; thay ngược tìm ẩn còn lại và kết luận nghiệm.

Khi nào cộng, khi nào trừ vế theo vế?

Hệ số của ẩn cần khử đối nhau (ví dụ 2y và −2y) thì cộng; bằng nhau (ví dụ 2x và 2x) thì trừ. Mẹo nhớ: đối thì cộng, bằng thì trừ.

Phương pháp cộng đại số và phương pháp thế có cho kết quả khác nhau không?

Không. Hai phương pháp chỉ khác cách biến đổi, nghiệm của hệ là duy nhất (nếu có) nên kết quả luôn giống nhau. Chọn phương pháp nào giúp tính toán gọn hơn.

Làm sao biết hệ vô nghiệm khi dùng phương pháp cộng đại số?

Nếu sau khi cộng hoặc trừ, cả hai ẩn đều bị khử và còn lại đẳng thức vô lí như 0 = 5 thì hệ vô nghiệm; nếu còn lại 0 = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Bài học liên quan