Cách chia đa thức cho đa thức một biến, Toán 7 Cánh diều
Lớp 7ToánCánh Diều

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến Toán 7 Cánh Diều

Trả lời nhanh

Để chia đa thức A cho đa thức B (cùng một biến, B ≠ 0), em sắp xếp cả hai theo số mũ giảm dần rồi đặt tính như chia số tự nhiên: lấy hạng tử bậc cao nhất của số bị chia chia cho hạng tử bậc cao nhất của số chia, nhân kết quả với đa thức chia, trừ đi, lặp lại đến khi dư bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia. Kết quả luôn viết được dưới dạng A = B · Q + R.

Ba tình huống của phép chia đa thức một biến

Bài 5 (Toán 7 Cánh Diều) đi từ dễ đến khó theo ba mức. Em nên học đúng thứ tự này, vì mức sau dùng lại mức trước.

  1. Chia đơn thức cho đơn thức.
  2. Chia đa thức cho đơn thức.
  3. Chia đa thức cho đa thức (đặt tính chia, có thể chia hết hoặc có dư).

Nếu em chưa vững phép nhân thì xem lại phép nhân đa thức trước: Lý thuyết Bài 4: Phép nhân đa thức một biến. Phép chia thực chất là phép “nhân ngược” để kiểm tra kết quả.

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Với a ≠ 0, b ≠ 0 và m ≥ n (m, n là số tự nhiên), ta có:

(axm) : (bxn) = (a : b) · xm – n

Làm ba việc: chia hệ số, chia phần biến (trừ số mũ), rồi nhân hai kết quả lại.

Ví dụ 1. Tính:

  • (–12x5) : (4x2) = (–12 : 4) · x5–2 = –3x3.
  • (7/2 · x3) : (–14x) = (7/2 : (–14)) · x2 = –(1/4)x2. Vì (7/2) · (1/14) = 1/4.
  • 9x4 : (3x4) = 3 (số mũ bằng nhau nên phần biến bị triệt tiêu, x0 = 1).

Lưu ý: chỉ chia được khi số mũ ở số bị chia lớn hơn hoặc bằng số mũ ở số chia. Em đừng viết 3x : x2 = 3x–1 vì chưa học số mũ âm.

2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0), khi mọi hạng tử của P đều có số mũ không nhỏ hơn số mũ của Q, ta chia từng hạng tử của P cho Q rồi cộng các thương lại:

(A + B – C) : D = A : D + B : D – C : D

Ví dụ 2. Tính (18x4 – 12x3 + 6x2) : (6x2).

Chia lần lượt: 18x4 : 6x2 = 3x2; 12x3 : 6x2 = 2x; 6x2 : 6x2 = 1. Vậy thương là 3x2 – 2x + 1.

Mẹo kiểm tra nhanh: số hạng tử của thương bằng số hạng tử của đa thức bị chia. Ở trên, đa thức bị chia có 3 hạng tử và thương cũng có 3 hạng tử. Nếu em chỉ ra 2 hạng tử, hãy xem có làm rơi hạng tử nào không.

3. Cách chia đa thức cho đa thức

Điều kiện trước khi đặt tính

  • Cả hai đa thức đã thu gọn và sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến.
  • Đa thức chia khác đa thức không.
  • Bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia.

Các bước thực hiện

  1. Bước 1. Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia. Kết quả là hạng tử đầu của thương.
  2. Bước 2. Nhân hạng tử vừa tìm với toàn bộ đa thức chia, viết tích dưới đa thức bị chia sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột.
  3. Bước 3. Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó, được đa thức dư tạm thời.
  4. Bước 4. Coi đa thức dư tạm thời là đa thức bị chia mới, lặp lại bước 1–3. Dừng khi dư bằng 0 hoặc bậc của dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Ví dụ 3 (phép chia có dư). Tính (2x3 + 5x2 – 4x + 3) : (x + 3).

Hình dưới trình bày cách đặt tính; em đối chiếu từng hàng với các bước ngay sau đó.

Đặt tính chia (2x³ + 5x² - 4x + 3) cho (x + 3), thương 2x² - x - 1, dư 6
Đặt tính chia (2x³ + 5x² – 4x + 3) : (x + 3): thương 2x² – x – 1, dư 6.
  1. 2x3 : x = 2x2. Nhân: 2x2(x + 3) = 2x3 + 6x2. Trừ: (2x3 + 5x2) – (2x3 + 6x2) = –x2, hạ tiếp –4x được –x2 – 4x.
  2. –x2 : x = –x. Nhân: –x(x + 3) = –x2 – 3x. Trừ: (–x2 – 4x) – (–x2 – 3x) = –x, hạ tiếp +3 được –x + 3.
  3. –x : x = –1. Nhân: –1(x + 3) = –x – 3. Trừ: (–x + 3) – (–x – 3) = 6.
  4. 6 có bậc 0, nhỏ hơn bậc 1 của x + 3 nên dừng.

Kết luận: thương là 2x2 – x – 1, dư 6. Kiểm tra: (x + 3)(2x2 – x – 1) + 6 = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 + 6 = 2x3 + 5x2 – 4x + 3 ✓.

Ví dụ 4 (phép chia hết, thiếu hạng tử). Tính (x3 – 7x + 6) : (x – 2).

Đa thức bị chia thiếu hạng tử x2, em viết thêm 0x2 để các cột thẳng hàng: x3 + 0x2 – 7x + 6.

  1. x3 : x = x2; x2(x – 2) = x3 – 2x2; trừ được 2x2 – 7x + 6.
  2. 2x2 : x = 2x; 2x(x – 2) = 2x2 – 4x; trừ được –3x + 6.
  3. –3x : x = –3; –3(x – 2) = –3x + 6; trừ được 0.

Dư bằng 0 nên phép chia hết: thương là x2 + 2x – 3. Kiểm tra: (x – 2)(x2 + 2x – 3) = x3 + 2x2 – 3x – 2x2 – 4x + 6 = x3 – 7x + 6 ✓.

Ví dụ 5 (đa thức chia bậc hai). Tính (4x4 – 3x2 + x + 5) : (2x2 – x + 1).

Viết lại số bị chia: 4x4 + 0x3 – 3x2 + x + 5.

  1. 4x4 : 2x2 = 2x2; 2x2(2x2 – x + 1) = 4x4 – 2x3 + 2x2; trừ được 2x3 – 5x2 + x + 5.
  2. 2x3 : 2x2 = x; x(2x2 – x + 1) = 2x3 – x2 + x; trừ được –4x2 + 5.
  3. –4x2 : 2x2 = –2; –2(2x2 – x + 1) = –4x2 + 2x – 2; trừ được –2x + 7.
  4. Bậc của –2x + 7 là 1, nhỏ hơn 2 nên dừng.

Thương là 2x2 + x – 2, dư –2x + 7. Kiểm tra: (2x2 – x + 1)(2x2 + x – 2) = 4x4 – 3x2 + 3x – 2; cộng dư –2x + 7 được 4x4 – 3x2 + x + 5 ✓.

Nhận xét quan trọng: A = B · Q + R

Với hai đa thức A và B cùng biến (B ≠ 0), luôn tồn tại duy nhất cặp đa thức Q (thương) và R (dư) sao cho:

A = B · Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

  • R = 0: A chia hết cho B.
  • R ≠ 0: phép chia có dư.

Đẳng thức này vừa là định nghĩa vừa là “máy kiểm tra” kết quả: sau mỗi phép chia, em nhân B với Q rồi cộng R, phải ra đúng A.

Lỗi sai thường gặp và cách tránh

Lỗi sai Cách khắc phục
Quên dấu khi trừ, nhất là khi tích có hạng tử âm Đổi dấu toàn bộ tích rồi cộng; viết rõ từng hạng tử ở hàng dưới
Chỉ nhân hạng tử của thương với hạng tử đầu của đa thức chia Phải nhân với tất cả hạng tử của đa thức chia
Không chừa chỗ cho hạng tử bị thiếu (ví dụ thiếu x2) Viết thêm 0x2 để các cột thẳng hàng
Chưa sắp xếp theo số mũ giảm dần Sắp xếp cả hai đa thức trước khi đặt tính
Dừng quá sớm hoặc chia quá đà Dừng khi dư bằng 0 hoặc bậc dư < bậc đa thức chia
Sai hệ số phân số, ví dụ 2 : 3 viết thành 3/2 Hệ số chia: lấy hệ số số bị chia làm tử, hệ số số chia làm mẫu

Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1. Tính (10x4 – 5x3 + 15x2) : (5x2).

Đáp án: 2x2 – x + 3.

Bài 2. Tính (x3 – 3x2 + 5x – 3) : (x – 1).

Gợi ý: x3 : x = x2, rồi –2x, rồi 3. Đáp án: thương x2 – 2x + 3, dư 0.

Bài 3. Tính (6x3 + x2 – 4) : (2x + 1). Viết thêm 0x trước khi đặt tính.

Đáp án: thương 3x2 – x + 1/2, dư –9/2. Kiểm tra: (2x + 1)(3x2 – x + 1/2) = 6x3 + x2 + 1/2; cộng –9/2 được 6x3 + x2 – 4 ✓.

Bài 4 (bài toán thực tế). Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2x2 + 7x + 3 (m2) và chiều rộng x + 3 (m). Tìm chiều dài.

Đáp án: chiều dài = (2x2 + 7x + 3) : (x + 3). Ta có 2x2 : x = 2x; 2x(x + 3) = 2x2 + 6x; dư x + 3; x : x = 1; 1 · (x + 3) = x + 3; dư 0. Vậy chiều dài là 2x + 1 (m).

Học tiếp cùng Bài 5

  • Giải SGK Toán 7 Bài 5 (Cánh Diều): Phép chia đa thức một biến
  • Sách bài tập Toán 7 Bài 5 (Cánh Diều)
  • Vở bài tập Toán 7 Bài 5 – Cánh Diều
  • 20 câu trắc nghiệm Phép chia đa thức một biến có đáp án
  • Lý thuyết Toán 7 chương 6: Biểu thức đại số
  • Lý thuyết Toán 7 – Cánh Diều

Câu hỏi thường gặp

Khi nào đa thức A chia hết cho đa thức B?

Khi chia A cho B (B ≠ 0) mà đa thức dư R bằng 0, tức là A = B · Q. Nếu R ≠ 0 và bậc của R nhỏ hơn bậc của B thì đó là phép chia có dư.

Đa thức bị chia thiếu một số hạng tử thì đặt tính thế nào?

Em viết thêm hạng tử đó với hệ số 0, ví dụ x³ – 7x + 6 viết thành x³ + 0x² – 7x + 6, để các hạng tử cùng bậc nằm thẳng cột khi trừ.

Khi nào thì dừng phép chia đa thức?

Dừng khi đa thức dư bằng 0 hoặc khi bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Làm sao kiểm tra kết quả phép chia đa thức?

Nhân đa thức chia B với thương Q rồi cộng đa thức dư R. Nếu kết quả bằng đúng đa thức bị chia A thì phép chia đã đúng.

Bài học liên quan