Trực tâm là giao điểm của ba đường gì? G, H, I, O

Trả lời nhanh

Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Với tam giác ABC: G (trọng tâm) là giao ba đường trung tuyến, H (trực tâm) là giao ba đường cao, I là giao ba đường phân giác, O là giao ba đường trung trực. Cả bốn đều là điểm đồng quy, nhưng tính chất và vị trí của chúng khác nhau.

Bốn điểm đặc biệt trong tam giác

Đề bài dạng “Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực…” thường yêu cầu chọn nhận định đúng hoặc sai về bốn điểm này. Muốn làm nhanh, bạn cần thuộc bảng sau.

Điểm	Là giao của ba đường	Tính chất nổi bật	Vị trí
G – trọng tâm	trung tuyến	AG = ²⁄₃ AM (M là trung điểm BC)	Luôn nằm trong tam giác
H – trực tâm	đường cao	Không có tính chất về khoảng cách đơn giản	Trong (nhọn), trùng đỉnh góc vuông (vuông), ngoài (tù)
I – giao ba phân giác	phân giác trong	Cách đều ba cạnh; là tâm đường tròn nội tiếp	Luôn nằm trong tam giác
O – giao ba trung trực	trung trực	OA = OB = OC; là tâm đường tròn ngoại tiếp	Trong (nhọn), trung điểm cạnh huyền (vuông), ngoài (tù)

Vì sao mỗi điểm có tính chất như vậy?

Trọng tâm G

Trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện. Ba trung tuyến luôn cắt nhau tại một điểm và điểm đó chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 tính từ đỉnh. Vì vậy AG = 2GM, hay AG = ²⁄₃AM.

Trực tâm H

Đường cao kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao cùng đi qua một điểm, gọi là trực tâm. Vị trí của H phụ thuộc loại tam giác, nên đây là điểm hay bị hỏi “bẫy”.

Giao điểm ba phân giác I

Mỗi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. I thuộc cả ba phân giác nên cách đều ba cạnh, do đó có đường tròn tâm I tiếp xúc ba cạnh (đường tròn nội tiếp).

Giao điểm ba trung trực O

Mỗi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn. O thuộc cả ba trung trực nên OA = OB = OC, vì thế O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh (đường tròn ngoại tiếp).

Trường hợp đặc biệt cần nhớ

Tam giác cân tại A: đường trung tuyến, đường cao, phân giác và trung trực xuất phát từ A (đến BC) trùng nhau, nên bốn điểm G, H, I, O cùng nằm trên đường thẳng này.
Tam giác đều: cả bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
Tam giác vuông tại A: H trùng A; O là trung điểm cạnh huyền BC.
Tam giác bất kì: ba điểm O, G, H thẳng hàng (đường thẳng Euler, kiến thức mở rộng) và GH = 2·GO. Điểm I nói chung không nằm trên đường này.

Mẹo nhớ

“Trọng – trung tuyến, Trực – đường cao”: hai chữ T đầu của “trực tâm” gợi “trực” = “thẳng góc” → đường cao vuông góc với cạnh.
Phân giác → cách đều cạnh (nội tiếp). Trung trực → cách đều đỉnh (ngoại tiếp).
Chỉ G và I luôn nằm trong tam giác; H và O có thể nằm ngoài khi tam giác tù.

Lỗi sai thường gặp

Viết IA = IB = IC. Đây là tính chất của O, không phải của I. Với I ta có khoảng cách từ I đến ba cạnh bằng nhau.
Cho rằng trực tâm luôn nằm trong tam giác. Chỉ đúng với tam giác nhọn.
Nhầm tỉ lệ của trọng tâm: AG = ²⁄₃AM chứ không phải ¹⁄₃AM (GM mới bằng ¹⁄₃AM).
Cho rằng bốn điểm luôn trùng nhau; điều này chỉ đúng với tam giác đều.

Cách làm bài chọn nhận định đúng/sai

Với mỗi phương án, hãy xác định điểm được nhắc tới là giao của đường nào rồi đối chiếu bảng ở trên. Nếu phương án khẳng định “luôn đúng với mọi tam giác”, hãy thử nhanh với tam giác vuông và tam giác tù để tìm phản ví dụ. Nếu phương án nói về tam giác cân hoặc đều, dùng các trường hợp đặc biệt ở trên.

Bài luyện tập (tự đặt)

Bài 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Xác định vị trí của H và O, tính OA.

Đáp án: H trùng A. O là trung điểm của BC. BC = √(6² + 8²) = 10 cm nên OA = OB = OC = 5 cm.

Bài 2. Với tam giác ở Bài 1, gọi M là trung điểm BC. Tính AG.

Đáp án: M trùng O nên AM = 5 cm; AG = ²⁄₃·5 = ¹⁰⁄₃ cm.

Bài 3. Tam giác ABC đều cạnh 6 cm. Tính khoảng cách từ A đến G.

Đáp án: Đường cao từ A bằng 3√3 cm (cũng là trung tuyến). AG = ²⁄₃·3√3 = 2√3 cm. Vì G, H, I, O trùng nhau nên đây cũng là khoảng cách từ A đến mỗi điểm còn lại.

Bài 4. Đúng hay sai: “Trong mọi tam giác, giao điểm ba đường trung trực nằm bên trong tam giác.”

Đáp án: Sai. Với tam giác tù, O nằm ngoài tam giác; với tam giác vuông, O nằm trên cạnh huyền.

Câu hỏi thường gặp

Trực tâm là giao điểm của ba đường gì?

Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của tam giác. Ba đường cao luôn đồng quy tại một điểm.

Giao điểm của ba đường phân giác và ba đường trung trực khác nhau thế nào?

Giao điểm ba phân giác (I) cách đều ba cạnh, là tâm đường tròn nội tiếp. Giao điểm ba trung trực (O) cách đều ba đỉnh, là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Khi nào trực tâm nằm ngoài tam giác?

Khi tam giác có một góc tù. Tam giác nhọn có trực tâm bên trong, tam giác vuông có trực tâm trùng đỉnh góc vuông.

Khi nào G, H, I, O trùng nhau?

Khi tam giác ABC là tam giác đều. Lúc đó trung tuyến, đường cao, phân giác và trung trực cùng xuất phát từ một đỉnh đều trùng nhau.