Diện tích tam giác bằng một nửa tích của cạnh đáy với chiều cao tương ứng: S = (a × h) : 2, trong đó a là độ dài đáy và h là chiều cao hạ từ đỉnh đối diện xuống đáy đó. Ví dụ, tam giác có đáy 8 cm, chiều cao 5 cm thì diện tích là 8 × 5 : 2 = 20 cm2. Ngoài công thức cơ bản này, còn có các công thức riêng cho tam giác vuông, tam giác đều, công thức Hê-rông và công thức dùng sin góc mà bài viết sẽ trình bày đầy đủ bên dưới.
Công thức tính diện tích hình tam giác cơ bản
Muốn tính diện tích hình tam giác, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2.
S = ½ · a · h
- a: độ dài một cạnh được chọn làm đáy.
- h: chiều cao tương ứng, là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đối diện xuống đường thẳng chứa cạnh đáy.
Công thức này đúng với mọi loại tam giác. Lý do: hai tam giác bằng nhau ghép lại tạo thành một hình bình hành có diện tích a × h, nên mỗi tam giác chiếm một nửa. Với tam giác tù, chiều cao hạ từ đỉnh góc nhọn có thể nằm ngoài tam giác, khi đó chân đường cao rơi trên phần kéo dài của cạnh đáy.
Bảng tổng hợp công thức diện tích tam giác
| Loại tam giác hoặc dữ kiện | Công thức |
|---|---|
| Tam giác thường (biết đáy, chiều cao) | S = ½ · a · h |
| Tam giác vuông | S = ½ · b · c (b, c là hai cạnh góc vuông) |
| Tam giác đều cạnh a | S = a2√3/4 |
| Tam giác cân (cạnh bên b, đáy a) | h = √(b2 − a2/4), rồi S = ½ · a · h |
| Biết hai cạnh và góc xen giữa | S = ½ · a · b · sin C |
| Biết ba cạnh (Hê-rông) | S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], p = (a + b + c)/2 |
| Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp R | S = abc/(4R) |
| Biết bán kính đường tròn nội tiếp r | S = p · r |
| Trong hệ tọa độ Oxy | S = ½ |(xB − xA)(yC − yA) − (xC − xA)(yB − yA)| |
Cách tính theo từng loại tam giác
Tam giác vuông
Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau, nên cạnh này chính là chiều cao ứng với cạnh kia. Ví dụ: tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm thì S = 6 × 8 : 2 = 24 cm2.
Tam giác đều
Tam giác đều cạnh a có chiều cao h = a√3/2, nên S = ½ · a · a√3/2 = a2√3/4. Ví dụ: a = 6 cm thì S = 36√3/4 = 9√3 ≈ 15,59 cm2.
Tam giác cân
Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác cân đồng thời là đường trung tuyến, nên chia đáy làm hai phần bằng nhau. Ví dụ: tam giác cân có cạnh bên 5 cm, đáy 6 cm. Chiều cao h = √(52 − 32) = √16 = 4 cm, suy ra S = 6 × 4 : 2 = 12 cm2.
Tam giác thường biết ba cạnh: công thức Hê-rông
Ví dụ: tam giác có ba cạnh 13 cm, 14 cm, 15 cm.
Bước 1: Nửa chu vi p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21.
Bước 2: p − a = 8, p − b = 7, p − c = 6.
Bước 3: S = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm2.
Biết hai cạnh và góc xen giữa
Ví dụ: a = 4 cm, b = 6 cm, góc xen giữa C = 30°. Khi đó S = ½ × 4 × 6 × sin 30° = ½ × 4 × 6 × ½ = 6 cm2.
Tam giác trong hệ tọa độ
Ví dụ: A(1; 1), B(4; 1), C(1; 5). Ta có xB − xA = 3, yC − yA = 4, xC − xA = 0, yB − yA = 0. Vậy S = ½ |3 × 4 − 0 × 0| = 6 (đơn vị diện tích). Kết quả này khớp với việc ABC là tam giác vuông tại A có hai cạnh góc vuông 3 và 4.
Kiểm chứng: một tam giác, nhiều cách tính
Xét tam giác có ba cạnh 3, 4, 5 (tam giác vuông vì 32 + 42 = 52):
- Theo hai cạnh góc vuông: S = 3 × 4 : 2 = 6.
- Theo Hê-rông: p = 6, S = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6.
- Theo R: đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có R bằng nửa cạnh huyền, R = 2,5, nên S = (3 × 4 × 5)/(4 × 2,5) = 60/10 = 6.
- Theo r: bán kính nội tiếp r = S/p = 1, và p × r = 6 × 1 = 6.
Mọi công thức đều cho cùng kết quả, giúp bạn yên tâm lựa chọn cách phù hợp với dữ kiện đề bài.
Mẹo ghi nhớ và lỗi thường gặp
Mẹo ghi nhớ
- “Đáy nhân cao, chia đôi”: một tam giác luôn bằng nửa hình chữ nhật hoặc hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao.
- Muốn tìm chiều cao khi biết diện tích: h = 2 × S : a. Muốn tìm đáy: a = 2 × S : h.
- Thấy đề cho đủ ba cạnh mà không có chiều cao, hãy nghĩ ngay tới công thức Hê-rông.
Lỗi thường gặp
- Quên chia 2, nhầm sang công thức diện tích hình chữ nhật hoặc hình bình hành.
- Dùng cạnh bên làm chiều cao trong tam giác thường (chỉ đúng với tam giác vuông).
- Đáy và chiều cao khác đơn vị (dm và cm) nhưng không đổi về cùng đơn vị trước khi nhân.
- Ghép nhầm đáy với chiều cao không tương ứng: chiều cao phải vuông góc với chính cạnh đáy đã chọn.
Bài tập diện tích tam giác có đáp án
Bài 1. Tính diện tích tam giác có đáy 12 cm, chiều cao 7 cm.
Xem đáp án
S = 12 × 7 : 2 = 42 cm2.
Bài 2. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 cm và 12 cm. Tính diện tích.
Xem đáp án
S = 5 × 12 : 2 = 30 cm2.
Bài 3. Tính diện tích tam giác đều cạnh 4 cm.
Xem đáp án
S = 42√3/4 = 4√3 ≈ 6,93 cm2.
Bài 4. Tính diện tích tam giác có ba cạnh 5 cm, 5 cm, 6 cm.
Xem đáp án
p = 8; S = √(8 × 3 × 3 × 2) = √144 = 12 cm2.
Bài 5. Tam giác có diện tích 36 cm2 và đáy 9 cm. Tính chiều cao.
Xem đáp án
h = 2 × 36 : 9 = 8 cm.
Bài 6. Tam giác có hai cạnh 5 cm và 8 cm, góc xen giữa 60°. Tính diện tích.
Xem đáp án
S = ½ × 5 × 8 × sin 60° = 20 × √3/2 = 10√3 ≈ 17,32 cm2.
Bài 7. Tính diện tích tam giác có ba cạnh 7 cm, 8 cm, 9 cm.
Xem đáp án
p = 12; S = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 = 12√5 ≈ 26,83 cm2.
Bài 8. Tam giác có đáy 2 dm, chiều cao 15 cm. Tính diện tích theo cm2.
Xem đáp án
Đổi 2 dm = 20 cm; S = 20 × 15 : 2 = 150 cm2.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính diện tích tam giác là gì?
Diện tích tam giác bằng đáy nhân chiều cao rồi chia 2: S = (a × h) : 2. Đáy và chiều cao phải cùng đơn vị đo.
Diện tích hình tam giác được học ở lớp mấy?
Công thức đáy nhân chiều cao chia 2 được học ở lớp 5. Các công thức nâng cao như Hê-rông, ½ab sin C và công thức trong hệ tọa độ được học ở lớp 10.
Không biết chiều cao thì tính diện tích tam giác thế nào?
Nếu biết ba cạnh, dùng công thức Hê-rông S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]. Nếu biết hai cạnh và góc xen giữa, dùng S = ½ab sin C.
Diện tích tam giác vuông tính thế nào?
Lấy tích hai cạnh góc vuông chia 2. Ví dụ hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm thì diện tích là 24 cm².
Diện tích tam giác đều cạnh a bằng bao nhiêu?
Diện tích tam giác đều cạnh a là a²√3/4. Ví dụ cạnh 6 cm thì diện tích là 9√3 ≈ 15,59 cm².