Tiền lương 7 nhân viên công ty du lịch: cách tính số đặc trưng

Với mẫu 7 số liệu về tiền lương, bạn làm theo thứ tự: sắp xếp tăng dần, tìm trung vị (số thứ 4), tính trung bình, khoảng biến thiên, tứ phân vị Q1, Q3, khoảng tứ phân vị, rồi so với ngưỡng Q1 − 1,5·ΔQ và Q3 + 1,5·ΔQ để tìm giá trị bất thường. Trang này giải đầy đủ trên một ví dụ tự đặt.

Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên công ty du lịch

Trả lời nhanh

Với mẫu 7 số liệu về tiền lương, bạn làm theo thứ tự: sắp xếp tăng dần, tìm trung vị (số thứ 4), tính trung bình, khoảng biến thiên, tứ phân vị Q₁, Q₃, khoảng tứ phân vị, rồi so với ngưỡng Q₁ − 1,5·Δ_Q và Q₃ + 1,5·Δ_Q để tìm giá trị bất thường. Trang này giải đầy đủ trên một ví dụ tự đặt.

Đề bài thuộc dạng nào?

Đề có dạng: “Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ty du lịch lần lượt là … (triệu đồng). Hãy tìm số trung bình, trung vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn và giá trị bất thường (nếu có)”. Đây là phần “Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm” trong Toán 10 (và được ôn lại ở Toán 11).

Dãy số trong tên trang bị mất dấu phẩy và chấm phẩy nên không thể khôi phục chắc chắn từng số liệu của đề gốc. Vì vậy ở dưới, mình dùng một ví dụ tự đặt gồm 7 mức lương (triệu đồng): 6,5; 8,4; 6,9; 7,2; 2,5; 6,7; 7,0. Bạn chỉ cần thay số của đề mình vào và làm đúng các bước.

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu

Sắp xếp tăng dần: 2,5; 6,5; 6,7; 6,9; 7,0; 7,2; 8,4. Cỡ mẫu n = 7 (lẻ). Việc sắp xếp là bắt buộc trước khi tìm trung vị và tứ phân vị – lỗi hay gặp là lấy luôn số ở vị trí giữa của dãy chưa sắp.

Bước 2: Số trung bình, trung vị, mốt

Số trung bình: tổng = 2,5 + 6,5 + 6,7 + 6,9 + 7,0 + 7,2 + 8,4 = 45,2. Trung bình x̄ = 45,2 : 7 ≈ 6,46 (triệu đồng).
Trung vị M_e: n lẻ nên lấy số ở giữa, tức số thứ 4: M_e = 6,9.
Mốt: các giá trị đều xuất hiện đúng 1 lần nên mẫu này không có mốt rõ rệt (hoặc coi mọi giá trị đều là mốt). Nếu đề của bạn có hai mức lương trùng nhau thì giá trị đó là mốt.

Nhận xét: trung bình (6,46) nhỏ hơn trung vị (6,9) vì có một mức lương rất thấp là 2,5 kéo trung bình xuống. Khi dữ liệu có giá trị lệch xa, trung vị phản ánh mức lương “điển hình” tốt hơn.

Bước 3: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên: R = 8,4 − 2,5 = 5,9.
Tứ phân vị: Q₂ = M_e = 6,9. Nửa dưới (không lấy trung vị): 2,5; 6,5; 6,7 → Q₁ = 6,5. Nửa trên: 7,0; 7,2; 8,4 → Q₃ = 7,2.
Khoảng tứ phân vị: Δ_Q = Q₃ − Q₁ = 7,2 − 6,5 = 0,7.

Mẹo nhớ: với n lẻ, loại hẳn số ở giữa rồi chia dãy thành hai nửa bằng nhau (mỗi nửa 3 số), Q₁ và Q₃ là trung vị của hai nửa đó.

Bước 4: Phương sai và độ lệch chuẩn

Dùng công thức s² = (trung bình của bình phương) − (trung bình)².

Tổng bình phương: 6,25 + 42,25 + 44,89 + 47,61 + 49 + 51,84 + 70,56 = 312,4.
Trung bình bình phương: 312,4 : 7 ≈ 44,63.
Phương sai: s² ≈ 44,63 − 6,457² ≈ 44,63 − 41,69 ≈ 2,93.
Độ lệch chuẩn: s = √2,93 ≈ 1,71 (triệu đồng).

Lưu ý: giữ nhiều chữ số thập phân ở x̄ (ví dụ 6,4571) trước khi bình phương, làm tròn sớm sẽ lệch kết quả.

Bước 5: Tìm giá trị bất thường

Một giá trị là bất thường nếu nhỏ hơn Q₁ − 1,5·Δ_Q hoặc lớn hơn Q₃ + 1,5·Δ_Q.

Cận dưới: 6,5 − 1,5 × 0,7 = 5,45.
Cận trên: 7,2 + 1,5 × 0,7 = 8,25.

Mức lương 2,5 < 5,45 nên là giá trị bất thường. Mức lương 8,4 > 8,25 cũng là giá trị bất thường. Các giá trị còn lại nằm trong khoảng [5,45; 8,25].

Khi nào tính các số đặc trưng nào? Muốn đo mức “điển hình” thì dùng trung vị; muốn đo độ phân tán mà không bị ảnh hưởng bởi giá trị lệch thì dùng khoảng tứ phân vị; muốn dùng toàn bộ dữ liệu thì dùng phương sai, độ lệch chuẩn.

Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp dãy trước khi tìm trung vị, tứ phân vị.
Với n lẻ, vẫn đưa trung vị vào hai nửa khi tìm Q₁, Q₃ (theo SGK Toán 10 hiện hành thì loại ra).
Nhầm khoảng biến thiên (lớn nhất − nhỏ nhất) với khoảng tứ phân vị (Q₃ − Q₁).
Quên nhân hệ số 1,5 khi tìm ngưỡng giá trị bất thường.

Bài luyện tập

Bài 1. Lương 7 nhân viên (triệu đồng): 9; 7; 8; 7; 15; 8; 7. Tìm trung vị, mốt và khoảng tứ phân vị.

Đáp án: Sắp xếp: 7; 7; 7; 8; 8; 9; 15. Trung vị = 8; mốt = 7; Q₁ = 7, Q₃ = 9 nên Δ_Q = 2.

Bài 2. Với mẫu ở Bài 1, giá trị 15 có bất thường không?

Đáp án: Cận trên = 9 + 1,5 × 2 = 12. Vì 15 > 12 nên 15 là giá trị bất thường.

Bài 3. Nếu bỏ giá trị bất thường 15 ở Bài 1, trung bình tăng hay giảm?

Đáp án: Trung bình ban đầu = 61 : 7 ≈ 8,71; sau khi bỏ 15, trung bình = 46 : 6 ≈ 7,67. Trung bình giảm.

Câu hỏi thường gặp

Với 7 số liệu thì trung vị là số nào?

Sau khi sắp xếp tăng dần, trung vị là số thứ 4 vì n = 7 là số lẻ.

Khi n lẻ, tìm Q1 và Q3 thế nào?

Q2 là trung vị. Loại số giữa ra, Q1 là trung vị của nửa dưới (3 số đầu), Q3 là trung vị của nửa trên (3 số cuối).

Làm sao biết một mức lương là giá trị bất thường?

Tính Q1 − 1,5·ΔQ và Q3 + 1,5·ΔQ. Giá trị nhỏ hơn cận dưới hoặc lớn hơn cận trên là giá trị bất thường.

Vì sao trung bình lương thấp hơn trung vị?

Vì có một mức lương rất thấp kéo trung bình xuống, còn trung vị không bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị lệch xa.