Trả lời nhanh
Sơ đồ tư duy hình chữ nhật lớp 8 gồm bốn nhánh: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và công thức. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Với cạnh 8 cm và 6 cm, chu vi là 28 cm, diện tích là 48 cm vuông, đường chéo là 10 cm.
Bốn nhánh cần có trên sơ đồ
Giấy để ngang. Ô giữa ghi Hình chữ nhật. Bốn nhánh đi ra bốn góc, mỗi nhánh không quá sáu cụm từ. Nhánh một là định nghĩa. Nhánh hai là tính chất, gồm phần kế thừa từ hình bình hành và phần riêng của đường chéo. Nhánh ba là dấu hiệu nhận biết. Nhánh bốn là ba công thức: chu vi, diện tích, đường chéo. Cạnh ô giữa, em vẽ một hình chữ nhật nhỏ có tên đỉnh A, B, C, D và hai đường chéo cắt nhau tại O. Sơ đồ để ôn, không phải chỗ chép cả đoạn chứng minh.
Hình trên là phần hình học nên gắn vào ô giữa. Số 8 cm, 6 cm và đường chéo 10 cm là ví dụ để em nhớ công thức, không phải số liệu của mọi bài.
Định nghĩa và tính chất đường chéo
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Nếu một tứ giác đã có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông, vì tổng bốn góc của tứ giác là 360 độ. 90 + 90 + 90 = 270, góc còn lại là 360 − 270 = 90. Tứ giác ấy là hình chữ nhật. Đây là chú ý nên ghi nhỏ dưới nhánh định nghĩa, vì đề hay cho ba góc vuông rồi hỏi góc kia.
Hình chữ nhật đồng thời là hình bình hành và là hình thang cân. Em không chứng minh lại mọi tính chất cũ. Chỉ ghi những gì sẽ dùng:
- Hai cạnh đối song song và bằng nhau.
- Hai góc đối bằng nhau. Hai góc kề bù nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, vì đó là tính chất của hình bình hành.
- Hai đường chéo bằng nhau. Đây là tính chất riêng, cũng là tính chất hình thang cân mà hình chữ nhật có được.
Chứng minh hai đường chéo bằng nhau trên hình chữ nhật ABCD, với góc ở mọi đỉnh đều vuông, AB song song và bằng CD, AD song song và bằng BC. Xét tam giác ABD vuông tại A, hai cạnh góc vuông là AB và AD, cạnh huyền là BD. Xét tam giác ABC vuông tại B, hai cạnh góc vuông là BA và BC. Vì BC = AD và BA = AB, hai tam giác có hai cặp cạnh góc vuông bằng nhau, nên bằng nhau. Cạnh huyền bằng nhau: AC = BD.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Do hình chữ nhật là hình bình hành, O là trung điểm của cả AC và BD. Nếu AC = 10 cm thì AO = OC = BO = OD = 5 cm. Đừng viết rằng hai đường chéo vuông góc. Điều đó chỉ đúng khi hình chữ nhật là hình vuông. Với A(0, 0), B(8, 0), D(0, 6), C(8, 6), vectơ AC là (8, 6), vectơ BD là (−8, 6). Tích vô hướng bằng 8 × (−8) + 6 × 6 = −64 + 36 = −28, khác 0. Hai đường chéo không vuông góc.
Dấu hiệu nhận biết
Nhánh này trả lời câu hỏi ngược: biết gì thì kết luận được là hình chữ nhật.
Dấu hiệu 1. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Gọi góc A bằng 90 độ. Góc kề B bằng 180 − 90 = 90 độ. Góc đối C bằng góc A, nên bằng 90 độ. Góc đối D bằng góc B, nên bằng 90 độ. Đủ bốn góc vuông.
Dấu hiệu 2. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Hình bình hành đã bảo đảm đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Thêm điều kiện hai đường chéo bằng nhau thì mỗi nửa đường chéo bằng nhau, và ta kết luận các góc là vuông theo định lí trong sách. Khi làm bài, em ghi rõ giả thiết là hình bình hành trước, rồi mới dùng dấu hiệu. Một tứ giác thường có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật. Hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau mà không phải hình chữ nhật.
Một dạng khác hay gặp: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì đường chéo cắt nhau tại trung điểm nên tứ giác là hình bình hành. Vì hai đường chéo bằng nhau nên hình bình hành ấy là hình chữ nhật. Em phải viết đủ hai bước, không nhảy một bước.
Công thức và ba bài đã thử lại
Gọi hai cạnh kề là a và b, đường chéo là d. Ba công thức ghi ở nhánh cuối:
| Đại lượng | Công thức | Với a = 8 cm, b = 6 cm |
|---|---|---|
| Chu vi | P = 2(a + b) | 2 × (8 + 6) = 28 cm |
| Diện tích | S = a × b | 8 × 6 = 48 cm2 |
| Đường chéo | d = căn bậc hai của a2 + b2 | căn của 64 + 36 = căn của 100 = 10 cm |
Thử lại bộ số 6, 8, 10: 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102. Đây là bộ ba Pitago. Mỗi nửa đường chéo dài 5 cm.
Bài 1. Hình chữ nhật có đường chéo 13 cm, một cạnh 5 cm. Tìm cạnh kia, chu vi và diện tích.
Cạnh kia là căn của 132 − 52 = căn của 169 − 25 = căn của 144 = 12 cm. Thử: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132. Chu vi P = 2 × (5 + 12) = 34 cm. Diện tích S = 5 × 12 = 60 cm2.
Bài 2. Tứ giác ABCD có góc A = góc B = góc C = 90 độ. Tính góc D và kết luận.
Góc D = 360 − 270 = 90 độ. Bốn góc đều vuông, nên ABCD là hình chữ nhật. Không cần biết độ dài cạnh.
Bài 3. Hình bình hành ABCD có góc A = 90 độ, AB = 8 cm, AD = 6 cm. Tìm đường chéo.
Một góc vuông trên hình bình hành đủ để kết luận hình chữ nhật. Đường chéo là căn của 82 + 62 = 10 cm. Cả hai đường chéo đều dài 10 cm và cắt nhau tại trung điểm, mỗi đoạn từ đỉnh tới tâm dài 5 cm.
Cách vẽ trong một tiết và lỗi hay gặp
Vẽ ô giữa trước, rồi bốn nhánh, rồi mới ghi từ. Nếu ghi định lí dài vào nhánh, sơ đồ thành bài chép và không nhìn được lúc ôn. Mỗi tính chất một dòng. Công thức để riêng, có một ví dụ số như 8 cm, 6 cm, 10 cm để lúc quên căn bậc hai em còn nhớ phải thử lại bằng bình phương.
Ba lỗi làm sai bài dù sơ đồ đúng. Một, dùng chu vi cho diện tích: 2(a + b) không phải là diện tích. Hai, quên căn: a2 + b2 = 100 là bình phương đường chéo, đường chéo là 10 cm. Ba, cho mọi hình chữ nhật có đường chéo vuông góc. Chỉ hình vuông, tức hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, mới có đường chéo vuông góc. Hình chữ nhật còn nội tiếp được đường tròn tâm O, bán kính bằng nửa đường chéo, vì mọi góc ở đỉnh đều nhìn đường chéo dưới một góc vuông.
Câu hỏi thường gặp
Hình chữ nhật được định nghĩa thế nào?
Là tứ giác có bốn góc vuông. Tứ giác có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông, vì tổng bốn góc là 360 độ.
Hai đường chéo của hình chữ nhật có gì đặc biệt?
Bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chúng không vuông góc, trừ khi hình đó là hình vuông.
Chu vi, diện tích và đường chéo tính ra sao?
Chu vi bằng 2 nhân tổng hai cạnh. Diện tích bằng tích hai cạnh. Đường chéo bằng căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh.
Hình bình hành có một góc vuông có phải hình chữ nhật?
Có. Góc kề bù với góc vuông nên cũng vuông, hai góc đối bằng hai góc ấy, đủ bốn góc vuông.
Cạnh 6 cm và 8 cm thì đường chéo dài bao nhiêu?
10 cm, vì 36 + 64 = 100 và căn bậc hai của 100 là 10. Mỗi nửa đường chéo dài 5 cm.