Trả lời nhanh
Đề cho một trường hợp tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, là A, B, C và D. Lấy M trên AB, N trên AC, P trên BD sao cho MN không song song với BC. Giao tuyến của (BCD) và (MNP) là đường thẳng PI, trong đó I là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng BC. Điểm I có thể nằm trên phần kéo dài của BC.
Đề bài và các phương án
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).
- A. Đường thẳng MN
- B. Đường thẳng PI, với I là giao điểm của MN và BC
- C. Đường thẳng AD
- D. Đường thẳng đi qua P và song song với BC
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Đáp án đúng của đúng đề này là đường thẳng PI. Phương án D chỉ đúng nếu đề đổi thành MN song song với BC.
Trên hình, nét đứt là phần kéo dài của BC và của MN đến điểm I. Đường đỏ PI nằm trong cả hai mặt phẳng cần tìm giao.
Vì sao giao tuyến là PI
Bốn điểm không cùng một mặt phẳng tạo thành một tứ diện ABCD. Ba điểm A, B, C xác định mặt phẳng (ABC). Điểm D nằm ngoài mặt phẳng đó. Mặt phẳng (BCD) chứa ba điểm B, C, D, nên chứa cả đường thẳng BC và đường thẳng BD.
M thuộc đoạn AB, N thuộc đoạn AC, nên cả M và N đều thuộc (ABC). Đường thẳng MN vì thế nằm trong (ABC). BC cũng nằm trong (ABC). Hai đường thẳng cùng một mặt phẳng mà không song song thì cắt nhau tại đúng một điểm. Gọi điểm đó là I:
I = MN ∩ BC
I thuộc MN, mà MN nằm trong (MNP), nên I thuộc (MNP). I cũng thuộc BC, mà BC nằm trong (BCD), nên I thuộc (BCD). I là một điểm chung của hai mặt phẳng.
P được lấy trên BD. BD nằm trong (BCD), nên P thuộc (BCD). P cũng là một trong ba điểm xác định (MNP), nên P thuộc (MNP). P là điểm chung thứ hai.
Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng nối hai điểm đó. Vậy (BCD) ∩ (MNP) = PI.
Cần thấy I và P không trùng nhau. P nằm trên BD, I nằm trên BC. Chúng chỉ có thể gặp nhau ở B, và chỉ khi MN đi qua B. Với M, N lấy bên trong các đoạn như đề thường cho, I khác P, nên PI là một đường thẳng thực sự.
Điểm dễ kẹt là đi tìm I ở bên trong đoạn BC. Khi M, N lần lượt nằm trên các đoạn AB, AC và hai tỉ số khác nhau, giao điểm của hai đường thẳng thường rơi trên phần kéo dài của BC, ra ngoài đoạn BC. Điểm ấy vẫn thuộc đường thẳng BC, nên vẫn thuộc mặt phẳng (BCD). Hình vẽ phải kéo dài BC, không được kết luận là không có giao điểm chỉ vì trong đoạn BC chưa thấy chỗ cắt.
Vì sao các phương án khác sai
MN không phải giao tuyến cần tìm. M và N đều thuộc (ABC), nên MN = (MNP) ∩ (ABC). Đề hỏi giao với (BCD). MN không nằm trong (BCD), trừ trường hợp suy biến mà đề đã loại bằng cách cho bốn điểm không đồng phẳng.
AD không phải giao tuyến. AD cắt (BCD) tại D. D không được cho là điểm của (MNP). Một đường chỉ đụng mặt phẳng tại một điểm thì không phải giao tuyến của hai mặt phẳng.
Đường qua P song song với BC là đáp án của một đề khác. Đề này nói MN không song song với BC, nên MN phải cắt BC tại I, và giao tuyến là PI chứ không phải một đường song song.
Nếu đề đổi thành MN song song với BC, khi đó MN không cắt BC. MN nằm trong (ABC) và song song với giao tuyến BC của (ABC) và (BCD), nên MN song song với mặt phẳng (BCD). Mặt phẳng (MNP) vẫn chứa điểm P nằm trên (BCD), nên hai mặt phẳng không song song. Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua P, nằm trong (BCD), và song song với MN, do đó cũng song song với BC. Đó là lí do phương án D hấp dẫn, nhưng nó thuộc giả thiết ngược lại.
Kiểm tra bằng tọa độ và ba bài luyện
Lấy A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(0, 6, 0), D(2, 2, 4). Ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng z = 0, D có cao độ 4, nên bốn điểm không đồng phẳng. Chọn M(3, 0, 0) trên AB và N(0, 1,5, 0) trên AC.
Đường MN: (3 − 3s, 1,5s, 0). Đường BC: (6 − 6t, 6t, 0). Cho hoành độ và tung độ bằng nhau thì s = −2, t = −0,5. Điểm I là (9, −3, 0). Tổng hoành độ và tung độ bằng 6, cao độ bằng 0, nên I nằm trên đường thẳng BC kéo dài qua phía B, không nằm trong đoạn BC. P lấy trung điểm BD là (4, 1, 2). P và I đều thuộc (BCD) và đều thuộc (MNP), nên PI là giao tuyến. Phép thử này cho thấy lời giải không cần I nằm giữa B và C.
Luyện 1. Với cùng các điểm M, N, P của đề, tìm (MNP) ∩ (ABC).
Đáp án: Đường thẳng MN. Cả M và N thuộc (ABC), còn P không thuộc (ABC) vì P nằm trên BD và khác B.
Luyện 2. Tìm (MNP) ∩ (ABD).
Đáp án: Đường thẳng MP. M thuộc AB, P thuộc BD, cả hai đường ấy đều nằm trong (ABD). N thuộc AC nên không thuộc (ABD).
Luyện 3. Giữ M, N, P nhưng cho MN song song với BC. Giao tuyến (MNP) ∩ (BCD) là đường nào?
Đáp án: Đường thẳng đi qua P và song song với BC. Không còn điểm I. Hai mặt phẳng vẫn cắt nhau vì cùng chứa P.
Câu hỏi thường gặp
Giao tuyến của (BCD) và (MNP) là gì?
Đường thẳng PI, với I là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng BC.
Điểm I có phải lúc nào cũng nằm trong đoạn BC?
Không. I thường nằm trên phần kéo dài của BC. Điểm đó vẫn thuộc đường thẳng BC và thuộc mặt phẳng (BCD).
MN song song với BC thì giao tuyến đổi thế nào?
Không còn điểm I. Giao tuyến là đường thẳng qua P, nằm trong (BCD) và song song với BC.
(MNP) cắt (ABC) theo đường nào?
Theo MN, vì M và N đều thuộc mặt phẳng (ABC) còn P thì không.
Mệnh đề tồn tại bốn điểm không đồng phẳng đúng hay sai?
Đúng trong không gian. Bốn đỉnh của một tứ diện là một ví dụ, đúng như A, B, C, D trong đề.