Trả lời nhanh
Gieo một xúc xắc cân đối 4 lần. Xác suất mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần là 125/324. Cách tính: C(4,1) × (1/6) × (5/6)3 = 500/1 296 = 125/324. Một số đáp án in sẵn ghi 5/324; phép ấy đếm mặt 3 xuất hiện đúng ba lần.
Đề bài và các phương án
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 4 lần. Tìm xác suất của biến cố B: “Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần”.
- A. P(B) = 5/324
- B. P(B) = 5/32
- C. P(B) = 125/1 296
- D. P(B) = 125/324
Chọn D. Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Một số bản in viết P(A) cho cùng biến cố này và khoanh 5/324. Kết quả phù hợp với đề “đúng một lần” là 125/324.
Cách tính đúng
Mỗi lần gieo có 6 mặt, khả năng như nhau. Xác suất ra mặt 3 chấm là p = 1/6. Xác suất không ra mặt 3 là 5/6. Bốn lần gieo độc lập.
Biến cố B xảy ra khi đúng một trong bốn lần ra mặt 3, ba lần kia ra mặt khác. Có 4 vị trí cho lần duy nhất ra mặt 3:
- lần 1 ra 3, ba lần sau không;
- lần 2 ra 3, ba lần kia không;
- lần 3 ra 3, ba lần kia không;
- lần 4 ra 3, ba lần kia không.
Mỗi vị trí có xác suất (1/6) × (5/6)3. Tính (5/6)3 = 125/216. Nhân thêm 1/6 được 125/1 296. Bốn vị trí không chồng nhau nên nhân 4:
P(B) = 4 × 125/1 296 = 500/1 296.
Rút gọn cho 4: 500 ÷ 4 = 125, 1 296 ÷ 4 = 324. Tử 125 = 53 và mẫu 324 = 22 × 34 không còn thừa số chung. Vậy P(B) = 125/324.
Công thức nhị thức cho đúng một lần thành công trong bốn lần thử:
P(B) = C(4,1) × (1/6)1 × (5/6)3.
C(4,1) = 4, nên ra cùng 125/324.
Đếm trên không gian mẫu
Mỗi lần gieo một mặt từ 1 đến 6. Bốn lần cho 64 kết quả đồng khả năng:
64 = 1 296. Đây là số phần tử của không gian mẫu.
Số kết quả thuận lợi: chọn 1 vị trí cho mặt 3, mỗi vị trí trong ba lần còn lại có 5 mặt. Số cách là 4 × 53 = 4 × 125 = 500.
P(B) = 500/1 296 = 125/324. Hai cách, xác suất cổ điển và công thức nhị thức, gặp nhau. Kết quả được kiểm chéo.
Kiểm tra tổng xác suất mọi số lần ra mặt 3. Gọi X là số lần ra mặt 3.
| k | P(X = k) | Tử trên mẫu 1 296 |
|---|---|---|
| 0 | (5/6)4 | 625 |
| 1 | C(4,1)(1/6)(5/6)3 | 500 |
| 2 | C(4,2)(1/6)2(5/6)2 | 150 |
| 3 | C(4,3)(1/6)3(5/6) | 20 |
| 4 | (1/6)4 | 1 |
625 + 500 + 150 + 20 + 1 = 1 296. Tổng bằng 1. Hàng k = 1 đúng là biến cố trong đề.
Vì sao các phương án kia xuất hiện
Phương án A, 5/324, bằng 20/1 296. Đó là P(X = 3): mặt 3 xuất hiện đúng ba lần. Phép tính thường bị viết nhầm là 4 × (1/6)3 × (5/6). Mũ 3 đặt lên xác suất thành công thì đang đếm ba lần ra mặt 3 và một lần không ra. Đề hỏi đúng một lần, mũ 3 phải đặt lên 5/6.
Phương án C, 125/1 296, là xác suất của một vị trí cụ thể, ví dụ chỉ lần gieo thứ nhất ra mặt 3. Em quên nhân số cách chọn vị trí. Nhân thêm 4 thì được phương án D.
Phương án B, 5/32, không ra từ xúc xắc sáu mặt. 5/32 = C(5,1)/25, kiểu bài tung đồng xu hoặc mẫu 32. Ở đây mẫu mỗi lần là 6, mẫu bốn lần là 1 296.
Bài luyện
Bài 1. Cùng thí nghiệm, tìm xác suất mặt 3 không xuất hiện lần nào.
Đáp án: (5/6)4 = 625/1 296.
Bài 2. Tìm xác suất mặt 3 xuất hiện đúng hai lần.
Đáp án: C(4,2) × (1/6)2 × (5/6)2 = 6 × 1/36 × 25/36 = 150/1 296 = 25/216.
Bài 3. Gieo 3 lần, tìm xác suất mặt 3 xuất hiện đúng một lần.
Đáp án: C(3,1) × (1/6) × (5/6)2 = 3 × 1/6 × 25/36 = 75/216 = 25/72.
Câu hỏi thường gặp
Xác suất mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần khi gieo 4 lần là bao nhiêu?
125/324, tức 500/1 296 kết quả thuận lợi trên 1 296 kết quả có thể.
Vì sao 5/324 không phải đáp án của đề này?
5/324 là xác suất mặt 3 xuất hiện đúng ba lần, do đặt nhầm mũ 3 lên 1/6.
125/1 296 là xác suất của trường hợp nào?
Của một vị trí cố định ra mặt 3, chẳng hạn chỉ lần đầu. Đề cho mặt 3 ở bất kì một trong bốn lần, nên nhân 4.
Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
6 mũ 4 bằng 1 296, vì mỗi lần gieo có 6 mặt.
Công thức nào dùng cho biến cố này?
P = C(4,1) × (1/6) × (5/6) mũ 3.