Trả lời nhanh
Giao tuyến của mặt sac và sbd. Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng SO. S thuộc cả hai mặt. O là tâm hình bình hành ABCD, tức giao điểm của AC và BD, nên O cũng thuộc cả hai mặt. Hai điểm chung phân biệt xác định một đường thẳng: SO. Chọn phương án SO.
Đề bài và các phương án
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:
- A. SO
- B. SD
- C. SA
- D. SB
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Một số phiếu xếp SB, SC, SD, rồi mới tới SO. Dù SO đứng ở A hay ở D, đường thẳng đúng vẫn là SO.
Trên hình, đáy ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đỉnh S nối với A, B, C, D. Đoạn tô đậm từ S xuống O chính là giao tuyến cần tìm. AC nằm trong (SAC), BD nằm trong (SBD).
Vì sao giao tuyến là SO
Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng gồm mọi điểm chung của chúng. Để xác định đường thẳng, chỉ cần hai điểm chung phân biệt.
Điểm chung thứ nhất là S. S là đỉnh của mặt (SAC) vì mặt này chứa ba điểm S, A, C. S cũng là đỉnh của mặt (SBD) vì mặt này chứa S, B, D. Vậy S thuộc giao của hai mặt.
Điểm chung thứ hai là O. Vì ABCD là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: O vừa là trung điểm AC, vừa là trung điểm BD. Đề gọi O là tâm, chính là điểm này.
- O nằm trên AC, mà AC nằm trong (SAC), nên O thuộc (SAC).
- O nằm trên BD, mà BD nằm trong (SBD), nên O thuộc (SBD).
S và O khác nhau vì S không thuộc mặt đáy, còn O thuộc mặt đáy. Hai điểm ấy xác định duy nhất đường thẳng SO. Mọi điểm khác của giao tuyến cũng phải nằm trên SO, vì hai mặt phẳng cắt nhau theo đúng một đường thẳng.
Viết gọn trong bài làm:
S ∈ (SAC) ∩ (SBD).
O = AC ∩ BD, O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD).
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.
Vì sao SA, SB, SD không phải giao tuyến
SA không phải giao tuyến. SA nằm trong (SAC) và cũng nằm trong (SAB), (SAD). Điểm A không thuộc (SBD). Mặt (SBD) cắt đáy theo BD. A chỉ thuộc BD khi A trùng B hoặc D, tức hình đáy suy biến, không phải hình bình hành thông thường. Vậy A nằm ngoài (SBD), nên cả đường SA không thể là giao tuyến. Chỉ có điểm S của đường SA nằm trong (SBD).
SB không phải giao tuyến. SB nằm trọn trong (SBD). Điểm B thuộc AC chỉ khi đường chéo AC đi qua B, điều không xảy ra với hình bình hành lồi. B nằm ngoài (SAC), nên SB chỉ gặp (SAC) tại S, không phải là đường giao.
SD sai vì cùng lý do với SB. D thuộc mặt (SBD) nhưng không thuộc AC, nên D không thuộc (SAC). SD không nằm trong (SAC).
SC cũng sai nếu đề có phương án này. C thuộc (SAC) nhưng không thuộc BD, nên C không thuộc (SBD).
Bẫy thường gặp là thấy chữ S đứng đầu cả hai tên mặt phẳng rồi chọn một cạnh bên. Cạnh bên chỉ là giao tuyến khi cạnh đó nằm trong cả hai mặt. SA nằm trong (SAC) nhưng không nằm trong (SBD). SO thì nằm trong cả hai: nó là đường từ S tới một điểm của AC và cũng là đường từ S tới một điểm của BD.
Cách nhớ để làm các câu giao tuyến khác
Quy tắc dùng lại được: muốn tìm (P) ∩ (Q), hãy tìm hai điểm, mỗi điểm thuộc cả P lẫn Q. Trong hình chóp có đáy là tứ giác, giao của hai mặt chéo thường đi qua đỉnh S và qua giao điểm của hai đường chéo tương ứng.
| Hai mặt phẳng | Điểm chung thứ hai | Giao tuyến |
|---|---|---|
| (SAC) và (SBD) | O = AC ∩ BD | SO |
| (SAB) và (SCD) | Không có giao điểm AB ∩ CD vì AB ∥ CD | Đường qua S, song song với AB và CD |
| (SAD) và (SBC) | Không có giao điểm AD ∩ BC vì AD ∥ BC | Đường qua S, song song với AD và BC |
Hai dòng sau khác dòng đầu vì đáy là hình bình hành: cạnh đối song song, không cắt nhau trong mặt đáy. Khi hai đường thẳng song song, em không có điểm O thứ hai trên đáy. Giao tuyến vẫn đi qua S và song song với cặp cạnh đối đó. Nếu đề hỏi (SAC) với (SBD) thì vẫn là SO, vì hai đường chéo của hình bình hành luôn cắt nhau.
Nếu đáy chỉ là tứ giác thường, không phải bình hành, AC và BD vẫn cắt nhau tại một điểm, gọi là M chẳng hạn. Khi đó giao tuyến là SM. Tên điểm đổi, cách làm không đổi. Một số đề gọi giao điểm là M và đáp án là SM; với đề này tên điểm đã cho sẵn là O, nên đáp án viết SO.
Bài luyện
Bài 1. Hình chóp S.ABCD, đáy bình hành tâm O. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường nào?
Đáp án: Đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD. Không phải SO. SO là giao của hai mặt chứa hai đường chéo, không phải giao của hai mặt chứa hai cạnh đối.
Bài 2. M là trung điểm SD. Tìm giao điểm của BM với (SAC).
Đáp án: B và M đều thuộc (SBD), nên BM nằm trong (SBD). Mặt (SBD) cắt (SAC) theo SO. Trong mặt phẳng (SBD), BM cắt SO tại một điểm I. Điểm I thuộc SO nên thuộc (SAC), và I thuộc BM. Vậy BM ∩ (SAC) = I. Trong tam giác SBD, M và O lần lượt là trung điểm của SD và BD, nên MO song song với SB và đi qua O; I là giao của BM với SO, không trùng O.
Bài 3. Có được kết luận SO vuông góc với đáy chỉ từ dữ kiện ABCD là hình bình hành không?
Đáp án: Không. Hình bình hành chỉ bảo đảm O là giao của hai đường chéo. SO vuông góc với đáy khi có thêm điều kiện, ví dụ SA = SC và SB = SD, lúc đó SO vừa vuông góc AC vừa vuông góc BD. Câu hỏi giao tuyến không cần và không kết luận được góc vuông.
Câu hỏi thường gặp
Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là gì?
Là đường thẳng SO, với O là tâm đáy hình bình hành, tức giao điểm của AC và BD.
Vì sao O thuộc cả hai mặt phẳng?
O nằm trên AC nên thuộc (SAC), và nằm trên BD nên thuộc (SBD).
SA có phải giao tuyến không?
Không. A không nằm trên BD nên A không thuộc (SBD). SA chỉ gặp (SBD) tại S.
Nếu đề gọi giao điểm của AC và BD là M thì đáp án đổi thế nào?
Giao tuyến là SM. Cách chứng minh giữ nguyên, chỉ đổi tên điểm.
Giao tuyến của (SAB) và (SCD) có phải SO không?
Không. AB song song CD nên giao tuyến là đường qua S song song với AB và CD.