Trả lời nhanh
1-cos2x. Tập xác định của hàm số y = √(1 − cos 2x) là D = ℝ. Với mọi số thực x, −1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 1 − cos 2x ≥ 0; căn bậc hai luôn có nghĩa. Hàm còn viết được thành y = √2 · |sin x|, nhận mọi giá trị từ 0 đến √2.
Điều kiện để căn thức có nghĩa
Hàm số lượng giác có căn chỉ được tính khi biểu thức trong căn không âm. Với y = √(1 − cos 2x), điều kiện là:
1 − cos 2x ≥ 0 ⇔ cos 2x ≤ 1.
Cosin của một góc bất kì không bao giờ lớn hơn 1. Đẳng thức cos 2x = 1 xảy ra, còn cos 2x > 1 thì không. Vì thế cos 2x ≤ 1 đúng với mọi x thuộc ℝ, và 1 − cos 2x ≥ 0 cũng đúng với mọi x. Không phải loại một giá trị nào.
Kết luận: D = ℝ. Em không viết D = ℝ \ {kπ} ở bài này. Tập loại trừ đó chỉ xuất hiện khi căn nằm ở mẫu số, tức khi đề đòi 1 − cos 2x > 0 chứ không phải ≥ 0.
Đồ thị của y = 1 − cos 2x là một đường sóng nằm trọn phía trên trục hoành, chạm trục tại những điểm cos 2x = 1 và lên đỉnh bằng 2 khi cos 2x = −1. Vì sóng không chui xuống dưới 0, lấy căn của nó luôn thực hiện được.
Chứng minh bằng công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc cho biết 1 − cos 2x = 2 sin²x. Vế phải là hai lần một bình phương, nên không âm với mọi x. Đây là cách thứ hai, ngắn hơn cách so sánh cos 2x với 1, và còn cho phép rút gọn hàm.
y = √(1 − cos 2x) = √(2 sin²x) = √2 · √(sin²x) = √2 · |sin x|.
Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc. Căn bậc hai của một bình phương bằng trị tuyệt đối của chính số đó, không phải bằng số đó. Nếu bỏ dấu tuyệt đối, về phải âm khi sin x âm, trong khi căn thức không bao giờ âm.
Từ dạng y = √2 · |sin x| em đọc được thêm ba điều:
- Tập xác định vẫn là ℝ, vì sin x có nghĩa trên ℝ và trị tuyệt đối không tạo thêm điều kiện.
- Tập giá trị là [0; √2]. Giá trị nhỏ nhất 0 khi sin x = 0, tức x = kπ, k ∈ ℤ. Giá trị lớn nhất √2 khi |sin x| = 1, tức x = π/2 + kπ.
- Hàm chẵn theo nghĩa tuần hoàn và đối xứng: y(−x) = y(x), vì |sin(−x)| = |sin x|. Chu kì nhỏ nhất là π, vì |sin(x + π)| = |−sin x| = |sin x|.
Ví dụ tính nhanh. Với x = 0: cos 0 = 1, y = √(1 − 1) = 0, và √2 · |sin 0| = 0. Với x = π/2: cos π = −1, y = √(1 − (−1)) = √2, và √2 · |sin(π/2)| = √2. Với x = π/4: cos(π/2) = 0, y = √1 = 1, và √2 · |sin(π/4)| = √2 · (√2 / 2) = 1. Ba điểm khớp nhau.
Những chỗ dễ nhầm khi tìm tập xác định
Nhầm với 1 + cos 2x. Hàm z = √(1 + cos 2x) cũng xác định trên ℝ, vì 1 + cos 2x = 2 cos²x ≥ 0. Đổi dấu trong căn không làm hẹp tập xác định. Chỉ khi đổi thành 1 − cos²x hay sin²x − 1 thì em mới phải xét lại: sin²x − 1 = −cos²x ≤ 0, nên √(sin²x − 1) chỉ có nghĩa khi cos x = 0.
Nhầm điều kiện căn với điều kiện mẫu. Hàm y = 1 / √(1 − cos 2x) đòi hỏi 1 − cos 2x > 0, tức cos 2x ≠ 1, tức 2x ≠ 2kπ, tức x ≠ kπ. Tập xác định là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Cùng một biểu thức 1 − cos 2x, đặt trong căn thì giữ mọi x, đặt ở mẫu thì bỏ các điểm căn bằng 0.
Giải cos 2x ≤ 1 thành một bất phương trình góc. Một số bài làm viết 2x ≤ 2kπ rồi kết luận x ≤ kπ. Bất đẳng thức cos α ≤ 1 đúng với mọi α, không tương đương với α nằm về một phía của 2kπ. Chỉ có phương trình cos α = 1 mới cho α = 2kπ.
Quên tập giá trị và chỉ nộp tập xác định. Đề hỏi “tập xác định là gì” thì đáp số là ℝ. Nếu đề hỏi thêm “tìm giá trị lớn nhất”, đáp số là √2, đạt tại x = π/2 + kπ. Đừng trả lời tập giá trị là [0; 2]: số 2 là giá trị lớn nhất của 1 − cos 2x, sau khi lấy căn thì lớn nhất chỉ còn √2.
| Hàm số | Điều kiện | Tập xác định |
|---|---|---|
| y = √(1 − cos 2x) | 1 − cos 2x ≥ 0, luôn đúng | ℝ |
| y = √(1 + cos 2x) | 1 + cos 2x ≥ 0, luôn đúng | ℝ |
| y = 1 / √(1 − cos 2x) | cos 2x ≠ 1 | ℝ \ {kπ} |
| y = √(cos 2x − 1) | cos 2x = 1 | {kπ}, và y = 0 |
Ba bài luyện có lời giải
Bài 1. Tìm tập xác định của y = √(1 − cos²x).
Đáp án: 1 − cos²x = sin²x ≥ 0 với mọi x, nên D = ℝ. Hàm rút gọn thành y = |sin x|, tập giá trị [0; 1].
Bài 2. Tìm tập xác định của y = √(1 − cos 2x) / sin x.
Đáp án: Căn luôn có nghĩa. Mẫu khác 0 khi sin x ≠ 0, tức x ≠ kπ. Nhưng tại đúng những điểm x = kπ thì tử cũng bằng 0, vì 1 − cos 2kπ = 0. Hàm vẫn không xác định tại mẫu bằng 0. Vậy D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Trên tập đó, y = √2 · |sin x| / sin x, nên y = √2 khi sin x > 0 và y = −√2 khi sin x < 0.
Bài 3. Tìm x để y = √(1 − cos 2x) đạt giá trị bằng 1.
Đáp án: √2 · |sin x| = 1 ⇔ |sin x| = √2 / 2 ⇔ x = π/4 + kπ/2, k ∈ ℤ. Kiểm tra x = π/4: y = 1. Kiểm tra x = 3π/4: |sin| = √2 / 2, y = 1. Kiểm tra x = 5π/4: |sin| = √2 / 2, y = 1.
Khi làm trắc nghiệm, nếu bốn phương án là tập rỗng, một đoạn, ℝ bỏ đi các bội của π, và ℝ, em chọn ℝ. Biểu thức 1 − cos 2x không tạo ra điểm gãy nào trên trục số.
Câu hỏi thường gặp
Tập xác định của y = căn(1 − cos 2x) là gì?
Là tập số thực ℝ. Vì cos 2x luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1, biểu thức trong căn luôn không âm.
Vì sao 1 − cos 2x bằng 2 sin bình phương x?
Đó là công thức nhân đôi: cos 2x = 1 − 2 sin²x, nên 1 − cos 2x = 2 sin²x.
Hàm số này có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Bằng √2, đạt khi |sin x| = 1, tức x = π/2 + kπ. Giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = kπ.
Chu kì của y = căn(1 − cos 2x) là bao nhiêu?
Chu kì nhỏ nhất là π, vì hàm bằng √2 nhân |sin x| và |sin(x + π)| = |sin x|.
Khi nào phải bỏ các điểm x = kπ?
Khi 1 − cos 2x nằm ở mẫu, ví dụ y = 1 / căn(1 − cos 2x). Lúc đó cần cos 2x khác 1, tức x khác kπ.