Trả lời nhanh
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức. Muốn cộng hai phân thức khác mẫu, ta phân tích các mẫu thành nhân tử, tìm mẫu thức chung, quy đồng rồi cộng các tử. Muốn trừ A/B cho C/D, ta cộng A/B với phân thức đối của C/D: A/B − C/D = A/B + (−C)/D. Kết quả cuối cùng luôn được rút gọn và chỉ có nghĩa khi các mẫu khác 0.
Tóm tắt phương pháp cộng, trừ phân thức đại số
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu
A/M + B/M = (A + B)/M. Ví dụ: (x + 2)/(x − 1) + (3 − 2x)/(x − 1) = (5 − x)/(x − 1).
2. Cộng hai phân thức khác mẫu
- Phân tích mỗi mẫu thành nhân tử (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức như x2 − a2 = (x − a)(x + a), x2 − 2ax + a2 = (x − a)2).
- Tìm mẫu thức chung (MTC): lấy tích của mọi nhân tử xuất hiện, mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất.
- Tìm nhân tử phụ của từng mẫu: MTC chia cho mẫu đó.
- Nhân tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử phụ tương ứng, rồi cộng các tử.
- Rút gọn kết quả nếu tử và mẫu còn nhân tử chung.
3. Phân thức đối và phép trừ
Hai phân thức gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Phân thức đối của A/B là −A/B = (−A)/B = A/(−B). Phép trừ được đưa về phép cộng: A/B − C/D = A/B + (−C/D).
Một mẹo rất hay dùng là đổi dấu mẫu: 3/(3 − x) = −3/(x − 3). Nhờ đó hai mẫu “ngược dấu” trở thành cùng mẫu.
4. Tính chất và lưu ý
- Phép cộng phân thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nên em được nhóm các phân thức cùng mẫu hoặc có mẫu dễ quy đồng lại với nhau trước.
- Luôn ghi điều kiện xác định: mọi mẫu thức ban đầu phải khác 0. Kết quả rút gọn chỉ đúng với các giá trị thỏa điều kiện ấy.
- Khi trừ một phân thức có tử là đa thức, phải đặt cả tử trong ngoặc trước khi đổi dấu.
| Mẫu thức | Phân tích | Gợi ý MTC khi gặp cùng |
|---|---|---|
| x2 − 9 | (x − 3)(x + 3) | x + 3 và x − 3 → MTC (x − 3)(x + 3) |
| x2 + x; x2 − x | x(x + 1); x(x − 1) | MTC x(x − 1)(x + 1) |
| 2x + 6; x2 + 3x | 2(x + 3); x(x + 3) | MTC 2x(x + 3) |
| x2 − 4x + 4 | (x − 2)2 | với x − 2 → MTC (x − 2)2 |
Ví dụ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1 (cùng mẫu). Tính (3x + 1)/(2x) + (x − 1)/(2x).
Lời giải: Điều kiện x ≠ 0. Cộng các tử: (3x + 1 + x − 1)/(2x) = 4x/(2x) = 2.
Ví dụ 2 (trừ cùng mẫu). Tính x/(x − 2) − 2/(x − 2).
Lời giải: Điều kiện x ≠ 2. Ta có (x − 2)/(x − 2) = 1.
Ví dụ 3 (khác mẫu, MTC là tích). Tính 1/(x + 3) + 2/(x − 3).
Lời giải: Điều kiện x ≠ ±3. MTC = (x + 3)(x − 3) = x2 − 9. Quy đồng:
1/(x + 3) + 2/(x − 3) = (x − 3)/(x2 − 9) + 2(x + 3)/(x2 − 9) = (x − 3 + 2x + 6)/(x2 − 9) = (3x + 3)/(x2 − 9) = 3(x + 1)/(x2 − 9).
Ví dụ 4 (phải phân tích mẫu). Tính x/(x2 − 4) − 1/(x + 2).
Lời giải: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), điều kiện x ≠ ±2. MTC = (x − 2)(x + 2); nhân tử phụ của phân thức thứ hai là x − 2.
x/((x − 2)(x + 2)) − (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = (x − x + 2)/((x − 2)(x + 2)) = 2/(x2 − 4).
Ví dụ 5 (hai mẫu có nhân tử chung). Tính 1/(x2 + x) + 1/(x2 − x).
Lời giải: x2 + x = x(x + 1), x2 − x = x(x − 1); điều kiện x ≠ 0, x ≠ ±1. MTC = x(x + 1)(x − 1).
(x − 1)/(x(x + 1)(x − 1)) + (x + 1)/(x(x + 1)(x − 1)) = 2x/(x(x2 − 1)) = 2/(x2 − 1).
Lưu ý: nếu em lấy MTC là tích hai mẫu x2(x + 1)(x − 1) thì vẫn ra đúng nhưng phải rút gọn thêm một bước.
Ví dụ 6 (ba phân thức). Tính 2x/(x2 − 1) − 1/(x − 1) + 1/(x + 1).
Lời giải: Điều kiện x ≠ ±1. MTC = (x − 1)(x + 1).
[2x − (x + 1) + (x − 1)]/(x2 − 1) = (2x − x − 1 + x − 1)/(x2 − 1) = (2x − 2)/(x2 − 1) = 2(x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = 2/(x + 1).
Ví dụ 7 (đổi dấu mẫu). Tính x/(x − 3) + 3/(3 − x).
Lời giải: Điều kiện x ≠ 3. Vì 3/(3 − x) = −3/(x − 3) nên biểu thức bằng (x − 3)/(x − 3) = 1.
Ví dụ 8 (rút gọn rồi tính giá trị). Cho A = 1/(x − 1) − 1/(x + 1). Rút gọn A và tính A tại x = 3.
Lời giải: Điều kiện x ≠ ±1. A = [(x + 1) − (x − 1)]/(x2 − 1) = 2/(x2 − 1). Tại x = 3 (thỏa điều kiện): A = 2/(9 − 1) = 2/8 = 1/4.
Ví dụ 9 (chứng minh không phụ thuộc biến). Chứng minh B = (x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1) − 4x/(x2 − 1) bằng 0 với mọi x ≠ ±1.
Lời giải: MTC = x2 − 1. Tử số sau quy đồng là (x + 1)2 − (x − 1)2 − 4x = (x2 + 2x + 1) − (x2 − 2x + 1) − 4x = 4x − 4x = 0. Vậy B = 0, không phụ thuộc vào x.
Bài tập cộng trừ phân thức lớp 8 tự luyện (có đáp án)
| Bài | Đề | Đáp án (đã rút gọn) |
|---|---|---|
| 1 | (5x − 2)/(3x) + (x + 2)/(3x) | 2 (x ≠ 0) |
| 2 | 2/(x + 1) − 1/(x − 1) | (x − 3)/(x2 − 1) |
| 3 | 3/(2x + 6) + x/(x2 + 3x) | 5/(2x + 6) (x ≠ 0, x ≠ −3) |
| 4 | 1/(x − y) − 1/(x + y) | 2y/(x2 − y2) |
| 5 | x2/(x − 1) + 1/(1 − x) | x + 1 (x ≠ 1) |
| 6 | 1/(x − 2) − 2/(x2 − 4x + 4) | (x − 4)/(x − 2)2 |
| 7 | 1/(x(x + 1)) + 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/((x + 2)(x + 3)) | 3/(x(x + 3)) |
Gợi ý một số bài
- Bài 3: 2x + 6 = 2(x + 3), x2 + 3x = x(x + 3). Rút gọn x/(x(x + 3)) = 1/(x + 3) trước, rồi cộng 3/(2(x + 3)) + 2/(2(x + 3)) = 5/(2(x + 3)).
- Bài 5: đổi dấu 1/(1 − x) = −1/(x − 1), được (x2 − 1)/(x − 1) = x + 1.
- Bài 7: dùng tách 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1). Tổng thành 1/x − 1/(x + 3) = 3/(x(x + 3)), các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau.
Sai lầm thường gặp khi cộng, trừ phân thức
- Cộng cả tử với tử, mẫu với mẫu: 1/x + 1/y ≠ 2/(x + y). Phải quy đồng: 1/x + 1/y = (x + y)/(xy).
- Quên ngoặc khi trừ: x/(x + 1) − (x − 1)/(x + 1) có tử là x − (x − 1) = 1, không phải x − x − 1.
- Rút gọn từng số hạng ở tử: (x + 2)/x không bằng 1 + 2 hay 2. Chỉ được rút gọn nhân tử chung của cả tử và mẫu.
- Bỏ quên điều kiện xác định: ở Ví dụ 8, nếu đề cho x = 1 thì A không xác định, dù biểu thức rút gọn 2/(x2 − 1) cũng không xác định tại đó.
- Chọn MTC quá lớn: không phân tích mẫu thành nhân tử nên nhân thẳng các mẫu, khiến biểu thức cồng kềnh và dễ sai dấu.
Câu hỏi thường gặp
Muốn cộng hai phân thức khác mẫu ta làm thế nào?
Phân tích các mẫu thành nhân tử, tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức rồi cộng các tử và giữ mẫu chung, cuối cùng rút gọn kết quả.
Phân thức đối của A/B là gì?
Là phân thức −A/B, có thể viết (−A)/B hoặc A/(−B). Tổng của A/B và phân thức đối của nó bằng 0.
Trừ hai phân thức có cần quy đồng không?
Có, nếu hai phân thức khác mẫu. Phép trừ A/B − C/D được đưa về phép cộng A/B + (−C/D), sau đó quy đồng như phép cộng.
Cách tìm mẫu thức chung nhanh nhất?
Phân tích từng mẫu thành nhân tử, rồi lấy tích các nhân tử khác nhau, mỗi nhân tử lấy với số mũ lớn nhất. Hệ số là bội chung nhỏ nhất của các hệ số.
Vì sao phải ghi điều kiện xác định khi cộng trừ phân thức?
Vì phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu khác 0. Kết quả rút gọn chỉ đúng với các giá trị của biến làm mọi mẫu ban đầu khác 0.