Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp đều (Toán 8)
Lớp 8Toán

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp đều (Toán 8)

Trả lời nhanh

Với hình chóp đều: diện tích xung quanh Sxq = p·d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn); diện tích toàn phần Stp = Sxq + Sđáy; thể tích V = 1/3·Sđáy·h (h là chiều cao). Muốn tìm trung đoạn hay chiều cao, ta dùng định lí Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, trung đoạn và khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh đáy.

Nhắc lại: hình chóp đều và các yếu tố

Hình chóp đều có đáy là một đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, lục giác đều…), các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau và chân đường cao trùng với tâm của đáy. Một số yếu tố cần nắm:

  • Đỉnh chóp (S) và chiều cao (h): đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đáy, vuông góc với mặt đáy.
  • Trung đoạn (d): đường cao của một mặt bên kẻ từ đỉnh chóp. Mọi trung đoạn của hình chóp đều bằng nhau.
  • Cạnh bên và cạnh đáy: các cạnh bên đều bằng nhau.

Xem thêm bài tổng quát về hình dạng: Hình chóp đều – Hình chóp cụt đều.

Công thức cần nhớ

Đại lượng Công thức Ý nghĩa kí hiệu
Diện tích xung quanh Sxq = p·d p: nửa chu vi đáy; d: trung đoạn
Diện tích toàn phần Stp = Sxq + Sđáy Sđáy: diện tích đa giác đáy
Thể tích V = 1/3·Sđáy·h h: chiều cao hình chóp

Công thức Sxq = p·d có thể hiểu như sau: các mặt bên là những tam giác có cùng đường cao d, tổng độ dài các đáy chính là chu vi đáy C. Diện tích mỗi tam giác là 1/2·(cạnh đáy)·d, cộng lại được 1/2·C·d = p·d.

Liên hệ giữa h, d và đáy

Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm một cạnh đáy. Tam giác SOM vuông tại O, ta có d2 = h2 + OM2. Đoạn OM là khoảng cách từ tâm đến cạnh đáy:

  • Đáy là hình vuông cạnh a: OM = a/2.
  • Đáy là tam giác đều cạnh a: OM = a√3/6.
  • Đáy là lục giác đều cạnh a: OM = a√3/2.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Chóp tứ giác đều

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 8 cm, chiều cao 3 cm. Tính Sxq, Stp và V.

  1. Khoảng cách từ tâm đến cạnh đáy: OM = 8 : 2 = 4 cm.
  2. Trung đoạn: d = √(32 + 42) = 5 cm.
  3. Nửa chu vi đáy p = 4 × 8 : 2 = 16 cm nên Sxq = 16 × 5 = 80 cm2.
  4. Sđáy = 82 = 64 cm2 nên Stp = 80 + 64 = 144 cm2.
  5. V = 1/3 × 64 × 3 = 64 cm3.

Ví dụ 2: Chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 5 cm. Tính Sxq, Stp và V.

  1. Nửa chu vi đáy p = 3 × 6 : 2 = 9 cm nên Sxq = 9 × 5 = 45 cm2.
  2. Diện tích đáy (tam giác đều cạnh 6): S = 62√3 / 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm2. Vậy Stp ≈ 45 + 15,59 = 60,59 cm2.
  3. OM = 6√3/6 = √3 cm, nên h = √(52 − 3) = √22 ≈ 4,69 cm.
  4. V = 1/3 × 9√3 × √22 = 3√66 ≈ 24,37 cm3.

Ví dụ 3: Bài toán ngược

Hình chóp tứ giác đều có thể tích 96 cm3, cạnh đáy 6 cm. Tính chiều cao và trung đoạn.

  1. Từ V = 1/3·S·h suy ra h = 3V : S = 3 × 96 : 36 = 8 cm.
  2. OM = 6 : 2 = 3 cm nên d = √(82 + 32) = √73 ≈ 8,54 cm.

Ví dụ 4: Ứng dụng thực tế

Một chiếc lều hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 2 m và trung đoạn 1,5 m. Vải để phủ bốn mặt bên (không tính nền) có diện tích p·d = 4 × 1,5 = 6 m2, trong đó p = 4 m là nửa chu vi đáy.

Mở rộng: hình chóp cụt đều

Ở một số tài liệu có thêm hình chóp cụt đều. Gọi p, p’ lần lượt là chu vi hai đáy, d là đường cao của mặt bên thì Sxq = 1/2(p + p’)·d. Thể tích V = 1/3·h·(B + B’ + √(B·B’)) với B, B’ là diện tích hai đáy. Phần này ngoài yêu cầu của nhiều bộ sách hiện hành, nên em chỉ học khi thầy cô yêu cầu.

Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm trung đoạn với chiều cao hoặc với cạnh bên. Trung đoạn nằm trên mặt bên, chiều cao vuông góc với đáy.
  • Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức Sxq = p·d.
  • Quên hệ số 1/3 khi tính thể tích.
  • Quên cộng diện tích đáy khi tính diện tích toàn phần.

Bài tập tự luyện

  1. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 10 cm, trung đoạn 13 cm. Tính Sxq và Stp. Đáp án: Sxq = 20 × 13 = 260 cm2; Stp = 260 + 100 = 360 cm2.
  2. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 4 cm. Tính trung đoạn. Đáp án: d = √(16 + 9) = 5 cm.
  3. Hình chóp có diện tích đáy 48 cm2, chiều cao 5 cm. Tính thể tích. Đáp án: V = 1/3 × 48 × 5 = 80 cm3.

Để luyện thêm, em có thể xem Giải SGK Toán 8 Bài 8: Diện tích xung quanh của hình chóp đều hoặc 50 bài tập diện tích xung quanh của hình chóp đều.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp đều là gì?

Sxq = p·d, trong đó p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp.

Trung đoạn của hình chóp đều là gì?

Là đường cao của mặt bên kẻ từ đỉnh chóp; mọi trung đoạn của hình chóp đều có độ dài bằng nhau.

Công thức tính thể tích hình chóp đều?

V = 1/3 · S đáy · h, với S đáy là diện tích đa giác đáy và h là chiều cao hình chóp.

Làm sao tìm trung đoạn khi biết chiều cao?

Dùng định lí Pythagore: d² = h² + OM², với OM là khoảng cách từ tâm đáy đến một cạnh đáy.

Bài học liên quan