Giải SGK Toán 10 Cánh Diều tập 1, tập 2: kiến thức và bài tập

Cấu trúc sách Toán 10 Cánh Diều

Sách được chia thành hai tập. Mỗi chương gồm các bài học lí thuyết kèm bài tập, cuối chương có bài tập ôn tập; ngoài ra có các chủ đề hoạt động thực hành, trải nghiệm. Bảng dưới đây giúp em hình dung toàn bộ nội dung cả năm.

Tập	Chương	Nội dung chính
Tập 1	I. Mệnh đề toán học. Tập hợp	Mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tương đương; tập hợp và các phép toán (giao, hợp, hiệu, phần bù)
	II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	Miền nghiệm và ứng dụng vào bài toán thực tế
	III. Hàm số và đồ thị	Hàm số, hàm số bậc hai, dấu tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai
	IV. Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ	Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180°, định lí côsin, sin, giải tam giác; vectơ và các phép toán, tích vô hướng
Tập 2	V. Đại số tổ hợp	Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton
	VI. Một số yếu tố thống kê và xác suất	Số gần đúng, sai số; số đặc trưng đo xu thế trung tâm và mức độ phân tán; xác suất của biến cố
	VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng	Toạ độ vectơ, phương trình đường thẳng, khoảng cách, góc, phương trình đường tròn, ba đường conic

Chương I: Mệnh đề toán học và tập hợp

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Mệnh đề phủ định của “∀x, P(x)” là “∃x, “không P(x)””.

• A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}; A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.
• A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}; nếu A ⊂ E thì phần bù C_EA = E \ A.

Mẹo: với tập hợp là khoảng, đoạn, hãy vẽ trục số và gạch bỏ phần không thuộc tập để tìm giao, hợp nhanh, tránh nhầm dấu ngoặc tròn và vuông.

Chương II: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by < c (hoặc ≤, >, ≥), với a, b không đồng thời bằng 0. Cách biểu diễn miền nghiệm:

1. Vẽ đường thẳng ax + by = c.
2. Lấy một điểm không thuộc đường thẳng (thường là gốc O) thay vào bất phương trình.
3. Nếu thoả mãn, nửa mặt phẳng chứa điểm đó là miền nghiệm; nếu không, chọn nửa còn lại.

Với hệ bất phương trình, miền nghiệm là phần giao. Trong bài toán tối ưu (tìm lợi nhuận lớn nhất…), giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by thường đạt tại một đỉnh của miền đa giác nghiệm.

Chương III: Hàm số và đồ thị

Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị là parabol với đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)), trục đối xứng x = −b/(2a); bề lõm hướng lên nếu a > 0, hướng xuống nếu a < 0.

Định lí về dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c, Δ = b² − 4ac:

Trường hợp	Dấu của f(x)
Δ < 0	f(x) cùng dấu với a với mọi x
Δ = 0	f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −b/(2a)
Δ > 0, hai nghiệm x1 < x2	“Trong trái, ngoài cùng”: f(x) trái dấu a khi x1 < x < x2, cùng dấu a khi x nằm ngoài đoạn [x1; x2]

Phương trình chứa căn dạng √(f(x)) = g(x): bình phương hai vế để được f(x) = g(x)², giải rồi thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu (hoặc đặt điều kiện g(x) ≥ 0). Bỏ bước thử lại là lỗi mất điểm phổ biến nhất của chương.

Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác và vectơ

Hệ thức lượng

• Định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc·cos A.
• Định lí sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
• Diện tích: S = ½·bc·sin A = abc/(4R) = pr = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) (công thức Heron, p là nửa chu vi).

Vectơ

• Quy tắc ba điểm: vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC; quy tắc hình bình hành ABCD: vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC.
• I là trung điểm AB ⇔ vectơ IA + vectơ IB = vectơ 0; G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ 0.
• Tích vô hướng: a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos(a⃗, b⃗); a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0.

Chương V: Đại số tổ hợp

Khái niệm	Công thức	Khi nào dùng
Hoán vị	Pn = n!	Sắp xếp toàn bộ n phần tử
Chỉnh hợp	Ank = n!/(n − k)!	Chọn k phần tử có thứ tự
Tổ hợp	Cnk = n!/(k!(n − k)!)	Chọn k phần tử không thứ tự

Mẹo phân biệt: đổi chỗ hai phần tử đã chọn mà kết quả khác đi (ví dụ bầu lớp trưởng, lớp phó) thì dùng chỉnh hợp; kết quả không đổi (chọn 3 bạn đi trực) thì dùng tổ hợp.

Nhị thức Newton (chương trình lớp 10 xét với n = 4, n = 5): (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴; (a + b)⁵ có các hệ số 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Chương VI: Thống kê và xác suất

• Số trung bình: x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n.
• Trung vị, tứ phân vị: sắp xếp mẫu tăng dần; Q₂ là trung vị, Q₁ là trung vị nửa dưới, Q₃ là trung vị nửa trên.
• Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất; khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ − Q₁.
• Phương sai s² = [(x₁ − x̄)² + … + (x_n − x̄)²]/n; độ lệch chuẩn s = √(s²).
• Xác suất cổ điển: P(A) = n(A)/n(Ω); P(A̅) = 1 − P(A).

Mẹo: với bài “ít nhất một”, hãy tính qua biến cố đối, thường nhanh hơn nhiều.

Chương VII: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

• A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) ⇒ vectơ AB = (x_B − x_A; y_B − y_A), AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).
• Phương trình tổng quát đường thẳng qua M(x₀; y₀), vectơ pháp tuyến n⃗(a; b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.
• Khoảng cách từ M(x₀; y₀) đến Δ: ax + by + c = 0 là d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
• Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² = R².
• Ba đường conic (dạng chính tắc): elip x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0); hypebol x²/a² − y²/b² = 1; parabol y² = 2px (p > 0).

Giải bài tập mẫu theo từng dạng

Ví dụ 1 (Chương III). Giải bất phương trình x² − 5x + 4 < 0.

Lời giải: Tam thức có a = 1 > 0, hai nghiệm x = 1 và x = 4. Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, f(x) < 0 khi 1 < x < 4. Tập nghiệm S = (1; 4).

Ví dụ 2 (Chương III). Giải phương trình √(2x + 3) = x.

Lời giải: Bình phương: 2x + 3 = x² ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3. Thử lại: x = −1 cho vế trái bằng 1, vế phải −1, loại; x = 3 cho 3 = 3, nhận. Vậy x = 3.

Ví dụ 3 (Chương IV). Tam giác ABC có b = 5, c = 8, góc A = 60°. Tính cạnh a và diện tích.

Lời giải: a² = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60° = 89 − 40 = 49 ⇒ a = 7. S = ½·5·8·sin 60° = 20·(√3/2) = 10√3.

Ví dụ 4 (Chương V). Lớp có 30 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó? Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn đi trực?

Lời giải: Chọn lớp trưởng, lớp phó có thứ tự: A₃₀² = 30·29 = 870 cách. Chọn 2 bạn đi trực không thứ tự: C₃₀² = 435 cách.

Ví dụ 5 (Chương VII). Viết phương trình đường tròn tâm I(1; −2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 10 = 0.

Lời giải: R = d(I, Δ) = |3·1 + 4·(−2) + 10| / √(9 + 16) = 5/5 = 1. Phương trình: (x − 1)² + (y + 2)² = 1.

Cách học Toán 10 Cánh Diều hiệu quả

• Học theo chương, không theo trang: trước mỗi chương, đọc bảng tóm tắt công thức ở trên để biết đích đến.
• Tự giải trước, xem lời giải sau: chỉ đối chiếu khi đã làm xong hoặc bí ít nhất 10 phút; ghi lại bước mình sai.
• Lập “sổ lỗi sai”: các lỗi điển hình là quên thử lại nghiệm phương trình chứa căn, nhầm chỉnh hợp với tổ hợp, quên giá trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách.
• Ôn tập cuối chương: làm bài tập cuối chương như một bài kiểm tra 45 phút để làm quen áp lực thời gian.
• Chuẩn bị kiểm tra định kì: giữa học kì I thường rơi vào chương I–III, cuối học kì I bao gồm thêm chương IV; học kì II tập trung chương V–VII (tuỳ kế hoạch từng trường).

Câu hỏi thường gặp

Toán 10 Cánh Diều có bao nhiêu chương?

Sách gồm 7 chương: 4 chương ở Tập 1 (mệnh đề – tập hợp; bất phương trình bậc nhất hai ẩn; hàm số và đồ thị; hệ thức lượng trong tam giác – vectơ) và 3 chương ở Tập 2 (đại số tổ hợp; thống kê và xác suất; phương pháp toạ độ trong mặt phẳng).

Chương nào trong Toán 10 Cánh Diều khó nhất?

Nhiều học sinh thấy khó ở chương vectơ và chương phương pháp toạ độ vì cần tư duy hình học kết hợp đại số. Nắm vững quy tắc ba điểm, tích vô hướng và công thức khoảng cách sẽ giúp em vượt qua.

Làm sao phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp?

Nếu thứ tự các phần tử được chọn có ý nghĩa (đổi chỗ cho kết quả khác) thì dùng chỉnh hợp; nếu không quan tâm thứ tự thì dùng tổ hợp.

Nhị thức Newton lớp 10 học đến số mũ bao nhiêu?

Theo chương trình lớp 10 hiện hành, nhị thức Newton được học với số mũ n = 4 và n = 5.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1, tập 2: kiến thức và cách giải
• Tổng hợp công thức vectơ lớp 10 đầy đủ, dễ nhớ kèm ví dụ
• Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu
• Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1, tập 2 đầy đủ các chương