Trả lời nhanh
Phương pháp nhóm hạng tử là gom các hạng tử thành từng nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung (hoặc tạo thành hằng đẳng thức), sau đó xuất hiện nhân tử chung của cả đa thức. Ví dụ: x² − 3x + xy − 3y = x(x − 3) + y(x − 3) = (x − 3)(x + y). Dưới đây là tóm tắt cách làm, 11 ví dụ giải chi tiết và các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án để em tự luyện.
Phương pháp nhóm hạng tử: khi nào dùng và làm thế nào?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành một tích các đa thức. Có ba phương pháp cơ bản: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử. Em dùng phương pháp nhóm khi đa thức không có nhân tử chung cho tất cả các hạng tử và cũng không có sẵn dạng hằng đẳng thức, thường là đa thức có 4 hạng tử trở lên.
Các bước thực hiện
- Quan sát hệ số và biến của từng hạng tử để tìm những cặp có nhân tử chung (cùng chứa x, cùng chứa y, hệ số tỉ lệ với nhau…).
- Nhóm các hạng tử đó vào trong ngoặc. Nếu trước ngoặc là dấu trừ, phải đổi dấu mọi hạng tử bên trong.
- Phân tích từng nhóm bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
- Đặt nhân tử chung mới xuất hiện giữa các nhóm để được tích. Nếu nhân tử nào còn phân tích được, tiếp tục phân tích cho triệt để.
Hai kiểu nhóm thường gặp
| Kiểu nhóm | Dấu hiệu | Ví dụ ngắn |
|---|---|---|
| Nhóm để đặt nhân tử chung | Hai cặp hạng tử, mỗi cặp có chung một biến hoặc một hệ số | ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) |
| Nhóm để dùng hằng đẳng thức | Ba hạng tử tạo thành A² ± 2AB + B², hạng tử còn lại là một bình phương | x² + 2x + 1 − y² = (x + 1)² − y² = (x + 1 − y)(x + 1 + y) |
Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm, nhưng không phải cách nào cũng dẫn đến kết quả. Nếu sau khi nhóm mà các nhóm không có nhân tử chung với nhau, em thử đổi cách ghép cặp.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1
Phân tích x² − 3x + xy − 3y.
Lời giải: x² − 3x + xy − 3y = (x² − 3x) + (xy − 3y) = x(x − 3) + y(x − 3) = (x − 3)(x + y).
Ví dụ 2
Phân tích ax + by + ay + bx.
Lời giải: Đổi chỗ để các hạng tử chứa a đứng cạnh nhau: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).
Ví dụ 3
Phân tích x³ − 2x² + 5x − 10.
Lời giải: (x³ − 2x²) + (5x − 10) = x²(x − 2) + 5(x − 2) = (x − 2)(x² + 5).
Ví dụ 4: Chú ý dấu trừ
Phân tích 3x² − 3xy − 5x + 5y.
Lời giải: (3x² − 3xy) − (5x − 5y) = 3x(x − y) − 5(x − y) = (x − y)(3x − 5).
Khi đưa −5x + 5y vào ngoặc có dấu trừ phía trước, em viết −(5x − 5y), tức là hạng tử +5y đổi thành −5y bên trong ngoặc.
Ví dụ 5: Nhóm rồi dùng hằng đẳng thức
Phân tích x² − 2xy + y² − 16.
Lời giải: (x² − 2xy + y²) − 16 = (x − y)² − 4² = (x − y − 4)(x − y + 4).
Ví dụ 6
Phân tích x² + 6x + 9 − y².
Lời giải: (x² + 6x + 9) − y² = (x + 3)² − y² = (x + 3 − y)(x + 3 + y).
Ví dụ 7: Phân tích triệt để
Phân tích x³ + x²y − x − y.
Lời giải: (x³ + x²y) − (x + y) = x²(x + y) − (x + y) = (x + y)(x² − 1) = (x + y)(x − 1)(x + 1).
Ví dụ 8: Tính nhanh
Tính nhanh 23·47 + 23·53 + 77·47 + 77·53.
Lời giải: = 23·(47 + 53) + 77·(47 + 53) = (47 + 53)(23 + 77) = 100·100 = 10 000.
Ví dụ 9: Tính giá trị biểu thức
Tính A = x² − xy − 5x + 5y tại x = 25, y = 5.
Lời giải: A = x(x − y) − 5(x − y) = (x − y)(x − 5). Thay số: A = (25 − 5)(25 − 5) = 20·20 = 400.
Ví dụ 10: Tìm x
Tìm x biết x³ − 3x² + 4x − 12 = 0.
Lời giải: x²(x − 3) + 4(x − 3) = 0, tức (x − 3)(x² + 4) = 0. Vì x² + 4 > 0 với mọi x nên x − 3 = 0, x = 3.
Ví dụ 11: Tìm x
Tìm x biết x(x − 2) − x + 2 = 0.
Lời giải: x(x − 2) − (x − 2) = 0, tức (x − 2)(x − 1) = 0. Vậy x = 2 hoặc x = 1.
Những lỗi hay mắc khi nhóm hạng tử
- Quên đổi dấu khi đặt dấu trừ trước ngoặc: viết −5x + 5y = −(5x + 5y) là sai, đúng phải là −(5x − 5y).
- Nhóm xong nhưng không có nhân tử chung giữa các nhóm. Ví dụ nhóm (x² + xy) + (−3x − 3y) thì được x(x + y) − 3(x + y), có nhân tử chung; nhưng nhóm (x² − 3y) + (xy − 3x) thì bế tắc. Hãy thử cách nhóm khác.
- Bỏ sót hạng tử 1. Trong x²(x + y) − (x + y), khi đặt (x + y) ra ngoài, phần còn lại là x² − 1 chứ không phải x².
- Chưa phân tích hết. Kết quả (x + y)(x² − 1) vẫn chưa xong vì x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
- Kết luận sai khi tìm x. Với (x − 3)(x² + 4) = 0, không được viết x² = −4 rồi tìm x; phải lập luận x² + 4 luôn dương.
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án
Phần 1: Trắc nghiệm
Câu 1. Phân tích xy + 3x + 2y + 6 thành nhân tử được:
- A. (x + 3)(y + 2)
- B. (y + 3)(x + 2)
- C. (x + 6)(y + 1)
- D. (xy + 3)(x + 2)
Đáp án B. x(y + 3) + 2(y + 3) = (y + 3)(x + 2).
Câu 2. Phân tích a² − ab + 4a − 4b được:
- A. (a − b)(a + 4)
- B. (a + b)(a − 4)
- C. (a − b)(a − 4)
- D. a(a − b + 4)
Đáp án A. a(a − b) + 4(a − b) = (a − b)(a + 4).
Câu 3. Giá trị của B = x² + 2xy + y² − 4 khi x + y = 12 là:
- A. 144
- B. 148
- C. 140
- D. 120
Đáp án C. B = (x + y)² − 4 = 144 − 4 = 140 (hoặc B = (x + y − 2)(x + y + 2) = 10·14 = 140).
Câu 4. Các giá trị x thỏa mãn x² − 5x + x − 5 = 0 là:
- A. x = 5; x = 1
- B. x = −5; x = 1
- C. x = 5; x = −1
- D. x = −5; x = −1
Đáp án C. x(x − 5) + (x − 5) = (x − 5)(x + 1) = 0.
Phần 2: Tự luận
| Đề bài | Đáp án |
|---|---|
| 1. x² − 9 + xy + 3y | (x + 3)(x − 3 + y) |
| 2. 2x³ + 3x² + 2x + 3 | (2x + 3)(x² + 1) |
| 3. x² + 4x + 4 − y² | (x + 2 − y)(x + 2 + y) |
| 4. 5x² − 5xy − 7x + 7y | (x − y)(5x − 7) |
| 5. a⁴ + 2a³ + 3a² + 6a | a(a + 2)(a² + 3) |
| 6. x² + bx − ax − ab | (x + b)(x − a) |
| 7. 3xy + 6z + 9y + 2xz | (x + 3)(3y + 2z) |
| 8. x² − y² − 2x + 2y | (x − y)(x + y − 2) |
| 9. 4x² − 4xy + y² − 9z² | (2x − y − 3z)(2x − y + 3z) |
| 10. x³ − x² − x + 1 | (x − 1)²(x + 1) |
Phần 3: Tính nhanh, tìm x
- Tính nhanh 2025·37 + 2025·63 − 25·37 − 25·63. Đáp án: (2025 − 25)(37 + 63) = 2000·100 = 200 000.
- Tính nhanh 12·73 + 12·27 + 46·130 − 46·30. Đáp án: 12·100 + 46·100 = 5800.
- Tìm x: x(x − 4) + 3x − 12 = 0. Đáp án: (x − 4)(x + 3) = 0, x = 4 hoặc x = −3.
- Tìm x: 2x³ − 4x² + 3x − 6 = 0. Đáp án: (x − 2)(2x² + 3) = 0; vì 2x² + 3 > 0 nên x = 2.
- Tính C = x² + 2xy + y² − 4z² khi x + y = 2z. Đáp án: C = (x + y − 2z)(x + y + 2z) = 0.
Gợi ý cho bài 10 ở Phần 2: nhóm (x³ − x²) − (x − 1) = x²(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x² − 1), rồi tách tiếp x² − 1 để được (x − 1)²(x + 1). Đây là dạng bài kết hợp cả ba phương pháp, rất hay xuất hiện trong bài kiểm tra Toán 8.
Câu hỏi thường gặp
Phương pháp nhóm hạng tử là gì?
Là cách gom các hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp để mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức, từ đó xuất hiện nhân tử chung của cả đa thức.
Khi nào nên dùng phương pháp nhóm hạng tử?
Khi đa thức không có nhân tử chung cho mọi hạng tử và không có sẵn dạng hằng đẳng thức, thường là đa thức có 4 hạng tử trở lên như ax + ay + bx + by.
Nhóm hạng tử có phải chỉ có một cách đúng không?
Không. Một đa thức có thể nhóm theo nhiều cách và đều ra cùng một kết quả, nhưng có cách nhóm không tạo được nhân tử chung, khi đó em cần đổi cách ghép cặp.
Vì sao phải đổi dấu khi nhóm hạng tử?
Khi đặt dấu trừ trước ngoặc, mọi hạng tử trong ngoặc phải đổi dấu để giá trị không đổi, ví dụ −5x + 5y = −(5x − 5y).
x² − y² − 2x + 2y phân tích thành nhân tử thế nào?
Nhóm (x² − y²) − 2(x − y) = (x − y)(x + y) − 2(x − y) = (x − y)(x + y − 2).