Trả lời nhanh
Phân tích hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức là nhận ra đa thức có dạng một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ rồi viết nó thành tích. Ví dụ: x² − 6x + 9 = (x − 3)², 16x² − 25y² = (4x − 5y)(4x + 5y), 8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² − 6x + 9). Trước khi dùng hằng đẳng thức, em luôn kiểm tra xem có nhân tử chung để đặt ra ngoài trước hay không.
Tóm tắt phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành một tích của các đa thức. Với phương pháp hằng đẳng thức, em đọc “ngược” bảy hằng đẳng thức đáng nhớ: thay vì khai triển tích thành tổng, em gom tổng trở lại thành tích.
| Dấu hiệu nhận biết | Hằng đẳng thức dùng | Kết quả |
|---|---|---|
| Ba hạng tử, hai hạng tử là bình phương, hạng tử còn lại bằng 2 lần tích | A² + 2AB + B² | (A + B)² |
| Như trên nhưng hạng tử giữa mang dấu trừ | A² − 2AB + B² | (A − B)² |
| Hai bình phương trừ nhau | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Bốn hạng tử, hệ số dạng 1, 3, 3, 1, dấu đều cộng | A³ + 3A²B + 3AB² + B³ | (A + B)³ |
| Bốn hạng tử, dấu đan xen + − + − | A³ − 3A²B + 3AB² − B³ | (A − B)³ |
| Hai lập phương cộng nhau | A³ + B³ | (A + B)(A² − AB + B²) |
| Hai lập phương trừ nhau | A³ − B³ | (A − B)(A² + AB + B²) |
Quy trình 3 bước
- Đặt nhân tử chung nếu có. Ví dụ 3x³ − 12x có nhân tử chung 3x, phải đặt ra trước rồi mới dùng hằng đẳng thức cho phần còn lại.
- Viết các hạng tử dưới dạng bình phương hoặc lập phương. Chẳng hạn 16x² = (4x)², 27 = 3³, 1/4 = (1/2)².
- Đối chiếu với bảng và kiểm tra hạng tử “ghép đôi”. Với bình phương của tổng/hiệu, hạng tử giữa phải đúng bằng 2AB; với lập phương phải đủ cả 3A²B và 3AB². Sau khi viết ra tích, em có thể khai triển nhẩm lại để kiểm tra.
Nếu đa thức chưa có sẵn dạng hằng đẳng thức, em có thể thêm bớt cùng một hạng tử để tạo ra dạng đó (xem Ví dụ 8), hoặc nhóm các hạng tử lại trước.
Ví dụ minh họa có lời giải
Ví dụ 1: Bình phương của một hiệu
Phân tích x² − 6x + 9.
Lời giải: x² − 6x + 9 = x² − 2·x·3 + 3² = (x − 3)².
Ví dụ 2: Hiệu hai bình phương
Phân tích 16x² − 25y².
Lời giải: 16x² − 25y² = (4x)² − (5y)² = (4x − 5y)(4x + 5y).
Ví dụ 3: Tổng hai lập phương
Phân tích 8x³ + 27.
Lời giải: 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)[(2x)² − 2x·3 + 3²] = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
Ví dụ 4: Lập phương của một hiệu
Phân tích x³ − 9x² + 27x − 27.
Lời giải: Ta thấy 27 = 3³, 9x² = 3·x²·3, 27x = 3·x·3². Vậy x³ − 9x² + 27x − 27 = x³ − 3·x²·3 + 3·x·3² − 3³ = (x − 3)³.
Ví dụ 5: A, B là biểu thức
Phân tích (2x + 1)² − (x − 3)².
Lời giải: Áp dụng A² − B² với A = 2x + 1, B = x − 3:
(2x + 1)² − (x − 3)² = [(2x + 1) − (x − 3)]·[(2x + 1) + (x − 3)] = (x + 4)(3x − 2).
Lưu ý dấu ngoặc khi trừ B: (2x + 1) − (x − 3) = 2x + 1 − x + 3 = x + 4.
Ví dụ 6: Kết hợp đặt nhân tử chung
Phân tích 3x³ − 12x.
Lời giải: 3x³ − 12x = 3x(x² − 4) = 3x(x − 2)(x + 2). Nếu dừng ở 3x(x² − 4) là chưa phân tích hết.
Ví dụ 7: Kết hợp nhóm hạng tử
Phân tích x² − 4xy + 4y² − 9.
Lời giải: Ba hạng tử đầu là bình phương của một hiệu: x² − 4xy + 4y² = (x − 2y)². Do đó
x² − 4xy + 4y² − 9 = (x − 2y)² − 3² = (x − 2y − 3)(x − 2y + 3).
Ví dụ 8: Thêm bớt hạng tử
Phân tích x⁴ + 64.
Lời giải: Thêm và bớt 16x² để tạo bình phương của tổng:
x⁴ + 64 = x⁴ + 16x² + 64 − 16x² = (x² + 8)² − (4x)² = (x² − 4x + 8)(x² + 4x + 8).
Ví dụ 9: Tính nhanh
Tính nhanh 73² − 27².
Lời giải: 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46·100 = 4600.
Ví dụ 10: Tìm x
a) 4x² − 12x + 9 = 0; b) (x + 2)² − 25 = 0.
Lời giải:
- a) 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² = 0 nên 2x − 3 = 0, x = 3/2.
- b) (x + 2)² − 5² = (x + 2 − 5)(x + 2 + 5) = (x − 3)(x + 7) = 0, suy ra x = 3 hoặc x = −7.
Ví dụ 11: Chứng minh chia hết
Chứng minh (n + 5)² − (n − 1)² chia hết cho 12 với mọi số nguyên n.
Lời giải: (n + 5)² − (n − 1)² = [(n + 5) − (n − 1)]·[(n + 5) + (n − 1)] = 6·(2n + 4) = 12(n + 2). Đây là bội của 12 nên chia hết cho 12.
Lỗi thường gặp
- Nhầm A² + B² với hằng đẳng thức. x² + 9 không phân tích được bằng hằng đẳng thức trong tập số thực vì không có công thức cho tổng hai bình phương.
- Sai hạng tử giữa. x² + 4x + 16 không phải (x + 4)², vì (x + 4)² = x² + 8x + 16. Em luôn kiểm tra 2AB.
- Nhầm dấu ở tổng, hiệu hai lập phương. A³ + B³ đi với (A² − AB + B²), còn A³ − B³ đi với (A² + AB + B²). Mẹo nhớ: dấu trong ngoặc đầu giống dấu đề bài, hạng tử AB trong ngoặc thứ hai mang dấu ngược lại.
- Quên dấu ngoặc khi A, B là biểu thức, như ở Ví dụ 5.
- Chưa phân tích triệt để. Ví dụ x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) còn phải tách tiếp x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Bài tập tự luyện có đáp án
Phần 1: Phân tích thành nhân tử
| Đề | Đáp án |
|---|---|
| 1. 25x² + 10x + 1 | (5x + 1)² |
| 2. 49 − 4y² | (7 − 2y)(7 + 2y) |
| 3. 1 − 27x³ | (1 − 3x)(1 + 3x + 9x²) |
| 4. x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ | (x + 2y)³ |
| 5. (x + y)² − 4z² | (x + y − 2z)(x + y + 2z) |
| 6. 2x² − 8x + 8 | 2(x − 2)² |
| 7. 64x³ − 1/8 | (4x − 1/2)(16x² + 2x + 1/4) |
| 8. x² − x + 1/4 | (x − 1/2)² |
| 9. x⁴ − 16 | (x − 2)(x + 2)(x² + 4) |
| 10. 9x² − 6x + 1 − y² | (3x − 1 − y)(3x − 1 + y) |
Phần 2: Tính nhanh, tìm x
- Tính nhanh 999² − 1. Đáp án: (999 − 1)(999 + 1) = 998·1000 = 998 000.
- Tính nhanh 101². Đáp án: (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
- Tìm x: x³ − 25x = 0. Đáp án: x(x − 5)(x + 5) = 0, nên x = 0, x = 5 hoặc x = −5.
- Tìm x: x² + 10x + 25 = 0. Đáp án: (x + 5)² = 0, x = −5.
- Tìm x: (3x − 1)² − 16 = 0. Đáp án: (3x − 5)(3x + 3) = 0, nên x = 5/3 hoặc x = −1.
Phần 3: Trắc nghiệm
Câu 1. Đa thức 4x² − 4x + 1 được phân tích thành:
- A. (4x − 1)²
- B. (2x − 1)²
- C. (2x + 1)²
- D. (2x − 1)(2x + 1)
Đáp án B, vì (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1.
Câu 2. Cho x + n = 2(y − m). Giá trị của A = x² − 4xy + 4y² − 4m² − 4mn − n² là:
- A. A = 1
- B. A = 0
- C. A = 2
- D. Chưa đủ dữ kiện để tính
Đáp án B. A = (x − 2y)² − (2m + n)² = (x − 2y − 2m − n)(x − 2y + 2m + n). Từ giả thiết, x − 2y + 2m + n = 0 nên A = 0.
Câu 3. Phương trình (x + 2)³ + (x − 3)³ = 0 có bao nhiêu nghiệm?
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Đáp án B. Áp dụng A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) với A = x + 2, B = x − 3: A + B = 2x − 1. Thừa số thứ hai A² − AB + B² = (A − B/2)² + 3B²/4 chỉ bằng 0 khi A = B = 0, điều không thể xảy ra vì A − B = 5. Vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 1/2.
Khi luyện các bài trên, em hãy tự che cột đáp án, làm ra nháp rồi mới đối chiếu. Nếu sai, hãy khai triển ngược tích của mình để tìm chỗ nhầm dấu hay nhầm hệ số.
Câu hỏi thường gặp
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức là gì?
Là nhận ra đa thức có dạng một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ rồi viết lại thành tích, ví dụ x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Khi nào nên dùng phương pháp hằng đẳng thức?
Khi đa thức có các hạng tử là bình phương hoặc lập phương, như hiệu hai bình phương, tam thức dạng A² ± 2AB + B², tổng hoặc hiệu hai lập phương. Nếu có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung trước.
x² + 4 có phân tích được thành nhân tử bằng hằng đẳng thức không?
Không. Tổng hai bình phương A² + B² không có hằng đẳng thức tương ứng trong tập số thực, nên x² + 4 không phân tích được theo cách này.
Làm sao nhớ dấu của A³ + B³ và A³ − B³?
Dấu trong ngoặc thứ nhất giống dấu đề bài, còn hạng tử AB trong ngoặc thứ hai mang dấu ngược lại: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²), A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
x⁴ + 4 phân tích thành nhân tử thế nào?
Thêm bớt 4x²: x⁴ + 4 = (x² + 2)² − (2x)² = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).