Bài tập hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có lời giải

Trả lời nhanh

Bài tập hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, em làm 4 bước: (1) chọn ba ẩn x, y, z và đặt điều kiện; (2) dịch ba dữ kiện của đề thành ba phương trình bậc nhất; (3) giải hệ bằng phương pháp thế hoặc khử dần ẩn (Gauss); (4) đối chiếu điều kiện rồi trả lời. Bài viết có 6 ví dụ giải chi tiết (số có ba chữ số, mua hàng, parabol, bán vé, vòi nước, tuổi) và 6 bài tự luyện có đáp án.

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng gồm ba phương trình a_ix + b_iy + c_iz = d_i (i = 1, 2, 3). Bài toán thực tế dẫn tới hệ này khi có ba đại lượng chưa biết và đề cho ba mối liên hệ độc lập giữa chúng.

Chọn ẩn và đặt điều kiện. Thường gọi trực tiếp ba đại lượng đề hỏi là x, y, z. Ghi rõ đơn vị và điều kiện (nguyên dương nếu là số người, số vé; là chữ số từ 0 đến 9; dương nếu là giá tiền, thời gian…).
Lập ba phương trình. Mỗi câu dữ kiện “tổng là…”, “nhiều hơn…”, “gấp…”, “nếu… thì…” cho một phương trình. Kiểm tra lại đơn vị hai vế.
Giải hệ. Dùng phương trình đơn giản nhất để rút một ẩn rồi thế vào hai phương trình còn lại, hoặc khử dần ẩn để đưa về dạng tam giác. Có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay (chức năng giải hệ ba ẩn).
Kiểm tra và kết luận. Thay nghiệm vào cả ba phương trình, đối chiếu điều kiện, rồi trả lời đúng câu hỏi (có đề hỏi số lượng sau khi thay đổi, không phải số ban đầu).

Dạng bài	Cách chọn ẩn	Gợi ý lập phương trình
Số có ba chữ số	Chữ số hàng trăm a, hàng chục b, hàng đơn vị c	Số = 100a + 10b + c; điều kiện 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9
Mua bán, giá tiền	Giá một đơn vị mỗi loại	Số lượng × đơn giá, cộng lại bằng tổng tiền
Parabol y = ax² + bx + c	Ba hệ số a, b, c	Mỗi điểm đi qua cho một phương trình
Năng suất, vòi nước	Phần công việc làm trong 1 giờ	Cùng làm thì cộng năng suất
Tuổi, số người, số vé	Số lượng mỗi nhóm	Tổng, hiệu, tỉ lệ giữa các nhóm

Cách giải hệ ba ẩn bằng phương pháp thế

Ví dụ giải hệ: 2x + y + 3z = 410 (1); x + 2y + z = 220 (2); 3x + 2y + 2z = 410 (3).

Từ (2): x = 220 − 2y − z.
Thế vào (1): 2(220 − 2y − z) + y + 3z = 410 ⇔ −3y + z = −30 ⇔ z = 3y − 30.
Thế vào (3): 3(220 − 2y − z) + 2y + 2z = 410 ⇔ −4y − z = −250 ⇔ 4y + z = 250.
Thay z = 3y − 30: 7y − 30 = 250 ⇔ y = 40; z = 90; x = 220 − 80 − 90 = 50.

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (50; 40; 90). Hệ này được dùng lại ở Ví dụ 2 bên dưới.

Ví dụ minh họa có lời giải

Ví dụ 1 (trắc nghiệm). Tìm số có ba chữ số

Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết tổng các chữ số bằng 16, chữ số hàng chục bằng tổng hai chữ số còn lại, và nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm với chữ số hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số ban đầu 198 đơn vị.

A. 583
B. 385
C. 475
D. 286

Lời giải. Gọi số cần tìm là 100a + 10b + c với a, b, c là các chữ số, a ≥ 1, c ≥ 1 (vì số sau khi đổi chỗ vẫn có ba chữ số). Ta có:

a + b + c = 16
b = a + c
(100c + 10b + a) − (100a + 10b + c) = 198 ⇔ 99(c − a) = 198 ⇔ c − a = 2

Thay b = a + c vào phương trình đầu: 2b = 16 nên b = 8, suy ra a + c = 8. Kết hợp c − a = 2 được c = 5, a = 3. Số cần tìm là 385. Kiểm tra: 3 + 8 + 5 = 16, 8 = 3 + 5, 583 − 385 = 198. Chọn B.

Ví dụ 2. Bài toán mua hàng

Mua 2 kg táo, 1 kg cam và 3 kg nho hết 410 nghìn đồng; mua 1 kg táo, 2 kg cam và 1 kg nho hết 220 nghìn đồng; mua 3 kg táo, 2 kg cam và 2 kg nho hết 410 nghìn đồng. Tính giá mỗi ki-lô-gam mỗi loại quả.

Lời giải. Gọi giá 1 kg táo, cam, nho lần lượt là x, y, z (nghìn đồng; x, y, z > 0). Theo đề bài ta có hệ: 2x + y + 3z = 410; x + 2y + z = 220; 3x + 2y + 2z = 410. Giải như phần phương pháp ở trên được x = 50, y = 40, z = 90.

Kết luận: táo 50 nghìn đồng/kg, cam 40 nghìn đồng/kg, nho 90 nghìn đồng/kg.

Ví dụ 3. Xác định parabol đi qua ba điểm

Tìm parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua ba điểm A(1; 2), B(−1; 6), C(2; 3).

Lời giải. Thay tọa độ ba điểm vào phương trình của (P):

A(1; 2): a + b + c = 2 (1)
B(−1; 6): a − b + c = 6 (2)
C(2; 3): 4a + 2b + c = 3 (3)

Lấy (1) trừ (2): 2b = −4 nên b = −2. Khi đó (1) cho a + c = 4, (3) cho 4a + c = 7. Trừ vế: 3a = 3 nên a = 1, c = 3. Vậy (P): y = x² − 2x + 3 (thỏa a ≠ 0). Kiểm tra với C: 4 − 4 + 3 = 3, đúng.

Ví dụ 4. Bài toán bán vé

Một buổi biểu diễn bán được 500 vé gồm ba loại: loại I giá 100 nghìn đồng, loại II giá 80 nghìn đồng, loại III giá 50 nghìn đồng. Tổng tiền thu được là 35,5 triệu đồng, và số vé loại III bằng tổng số vé loại I và loại II. Hỏi mỗi loại bán được bao nhiêu vé?

Lời giải. Gọi số vé loại I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương). Đổi 35,5 triệu đồng = 35 500 nghìn đồng. Ta có hệ:

x + y + z = 500
100x + 80y + 50z = 35 500
z = x + y

Từ phương trình thứ nhất và thứ ba: 2z = 500 nên z = 250 và x + y = 250. Thế vào phương trình thứ hai: 100x + 80y = 35 500 − 12 500 = 23 000. Thay y = 250 − x: 20x + 20 000 = 23 000 nên x = 150, y = 100.

Kết luận: 150 vé loại I, 100 vé loại II, 250 vé loại III. Kiểm tra: 15 000 + 8 000 + 12 500 = 35 500 nghìn đồng.

Ví dụ 5. Bài toán ba vòi nước

Một bể không có nước. Nếu mở vòi I và vòi II thì đầy bể sau 6 giờ; mở vòi II và vòi III thì đầy bể sau 10 giờ; mở vòi I và vòi III thì đầy bể sau 7 giờ 30 phút. Hỏi nếu mở cả ba vòi thì sau bao lâu đầy bể, và mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?

Lời giải. Gọi u, v, w là phần bể mà vòi I, II, III chảy được trong 1 giờ (u, v, w > 0). Đổi 7 giờ 30 phút = 7,5 giờ = 15/2 giờ. Ta có hệ bậc nhất ba ẩn:

u + v = 1/6
v + w = 1/10
u + w = 2/15

Cộng ba phương trình: 2(u + v + w) = 5/30 + 3/30 + 4/30 = 12/30 = 2/5, nên u + v + w = 1/5. Vậy ba vòi cùng chảy thì sau 5 giờ đầy bể. Suy ra u = 1/5 − 1/10 = 1/10, v = 1/5 − 2/15 = 1/15, w = 1/5 − 1/6 = 1/30.

Kết luận: chảy một mình, vòi I cần 10 giờ, vòi II cần 15 giờ, vòi III cần 30 giờ. Mẹo ở dạng này là đặt ẩn theo năng suất (phần bể trong 1 giờ) để hệ trở thành bậc nhất.

Ví dụ 6. Bài toán tuổi

Tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 80. Bố hơn mẹ 4 tuổi. Tuổi mẹ bằng 4 lần tuổi con cộng thêm 2. Tính tuổi mỗi người.

Lời giải. Gọi tuổi bố, mẹ, con lần lượt là x, y, z (nguyên dương). Ta có hệ: x + y + z = 80; x − y = 4; y = 4z + 2. Thế y = 4z + 2 thì x = 4z + 6. Thay vào phương trình đầu: (4z + 6) + (4z + 2) + z = 80 ⇔ 9z = 72 ⇔ z = 8. Suy ra y = 34, x = 38.

Kết luận: bố 38 tuổi, mẹ 34 tuổi, con 8 tuổi.

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1. Tìm ba số có tổng bằng 30, biết số thứ nhất hơn số thứ hai 4 đơn vị và số thứ hai hơn số thứ ba 1 đơn vị.

Đáp án: Hệ x + y + z = 30, x − y = 4, y − z = 1. Ba số là 13; 9; 8.

Bài 2. Tìm parabol y = ax² + bx + c đi qua ba điểm (0; −1), (1; 2), (2; 7).

Đáp án: c = −1, a + b = 3, 4a + 2b = 8, nên a = 1, b = 2. Parabol y = x² + 2x − 1.

Bài 3. Mua 3 bút, 2 vở, 1 thước hết 39 nghìn đồng; 1 bút, 3 vở, 2 thước hết 43 nghìn đồng; 2 bút, 1 vở, 3 thước hết 32 nghìn đồng. Tính giá mỗi loại.

Đáp án: Bút 5 nghìn đồng, vở 10 nghìn đồng, thước 4 nghìn đồng.

Bài 4. Ba lớp 10A, 10B, 10C có tổng cộng 120 học sinh. Trong đợt quyên góp, mỗi bạn lớp 10A góp 2 quyển sách, lớp 10B góp 3 quyển, lớp 10C góp 4 quyển, tổng cộng 362 quyển. Biết lớp 10C nhiều hơn lớp 10B 4 học sinh. Tính số học sinh mỗi lớp.

Đáp án: Hệ x + y + z = 120, 2x + 3y + 4z = 362, z − y = 4. Lớp 10A có 40 em, 10B có 38 em, 10C có 42 em.

Bài 5. Tìm số có ba chữ số, biết tổng các chữ số là 12, chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số còn lại, và khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được số mới lớn hơn số cũ 396 đơn vị.

Đáp án: Hệ a + b + c = 12, a + c = 2b, c − a = 4. Số cần tìm là 246.

Bài 6. Một người chia 300 triệu đồng thành ba khoản gửi tiết kiệm với lãi suất 5%, 6% và 7% một năm (lãi đơn). Sau một năm, tổng tiền lãi là 18,4 triệu đồng. Biết khoản gửi lãi suất 7% gấp đôi khoản gửi lãi suất 5%. Tính mỗi khoản.

Đáp án: Hệ x + y + z = 300, 0,05x + 0,06y + 0,07z = 18,4, z = 2x. Các khoản lần lượt là 40 triệu, 180 triệu và 80 triệu đồng.

Lưu ý để không mất điểm

Ba phương trình phải độc lập: nếu một phương trình suy ra được từ hai phương trình kia, hệ sẽ có vô số nghiệm và bài toán thiếu dữ kiện.
Đổi đơn vị trước khi lập hệ (triệu sang nghìn đồng, phút sang giờ).
Với dạng vòi nước, năng suất, đặt ẩn là phần việc trong một đơn vị thời gian thay vì thời gian, để hệ là bậc nhất.
Đọc kĩ câu hỏi cuối: có bài hỏi số lượng sau khi thay đổi, em cần tính thêm một bước từ nghiệm của hệ.
Luôn thay nghiệm vào cả ba phương trình ban đầu để kiểm tra, vì sai sót thường nằm ở bước nhân phá ngoặc.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào cần lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn?

Khi bài toán có ba đại lượng chưa biết và đề cho ba mối liên hệ độc lập giữa chúng, mỗi mối liên hệ biểu diễn được bằng một phương trình bậc nhất.

Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách nào nhanh nhất?

Chọn phương trình có hệ số đơn giản để rút một ẩn rồi thế vào hai phương trình còn lại, đưa về hệ hai ẩn. Có thể kiểm tra lại nghiệm bằng máy tính cầm tay.

Bài toán vòi nước có phải hệ bậc nhất ba ẩn không?

Có, nếu em đặt ẩn là phần bể mỗi vòi chảy trong 1 giờ. Khi đó các dữ kiện cùng chảy trở thành phương trình bậc nhất.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn học ở lớp mấy?

Theo chương trình mới, nội dung này nằm trong Chuyên đề học tập Toán 10 và còn được dùng khi tìm parabol đi qua ba điểm.