Trả lời nhanh
Để làm các phép toán giao, hợp, hiệu và phần bù trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, em biểu diễn từng tập trên cùng một trục số rồi đọc kết quả: giao là phần chung, hợp là toàn bộ phần được tô, hiệu A \ B là phần thuộc A nhưng không thuộc B. Chú ý đầu mút: đầu mút được lấy khi nó thuộc tập kết quả (dấu ngoặc vuông), không được lấy thì dùng ngoặc tròn. Ví dụ [–3; 5) ∩ (1; 7] = (1; 5).
Kiến thức cần nhớ về khoảng, đoạn, nửa khoảng
Với hai số thực a < b, các tập con thường gặp của ℝ được kí hiệu như sau:
| Tên gọi | Kí hiệu | Tập hợp |
|---|---|---|
| Khoảng | (a; b) | {x ∈ ℝ | a < x < b} |
| Đoạn | [a; b] | {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} |
| Nửa khoảng | [a; b) | {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} |
| Nửa khoảng | (a; b] | {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} |
| Nửa khoảng | [a; +∞) | {x ∈ ℝ | x ≥ a} |
| Khoảng | (–∞; b) | {x ∈ ℝ | x < b} |
| Khoảng | (–∞; +∞) | ℝ |
Kí hiệu +∞ và –∞ không phải là số nên luôn đi kèm ngoặc tròn. Các phép toán:
- Giao A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.
- Hợp A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.
- Hiệu A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.
- Phần bù trong ℝ: CℝA = ℝ \ A.
Phương pháp giải bằng trục số
- Vẽ một trục số (hoặc nhiều trục song song), đánh dấu tất cả đầu mút theo đúng thứ tự từ nhỏ đến lớn.
- Tô phần biểu diễn từng tập. Quy ước trong bài này: chấm tô kín là lấy đầu mút, chấm rỗng là bỏ đầu mút. (Một số sách lại gạch bỏ phần không thuộc tập; em dùng cách nào cũng được, miễn nhất quán.)
- Đọc kết quả theo phép toán. Với từng đầu mút của kết quả, hỏi lại: số này có thuộc tập kết quả không? Có thì ngoặc vuông, không thì ngoặc tròn.
- Kiểm tra bằng cách lấy một số cụ thể trong và ngoài kết quả rồi thử lại.
Mẹo cho đầu mút: với phép giao, đầu mút của kết quả được lấy khi nó được lấy ở cả hai tập; với phép hợp, chỉ cần được lấy ở ít nhất một tập; với phép hiệu A \ B, đầu mút được lấy khi nó thuộc A và không thuộc B.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Cho A = [–3; 5) và B = (1; 7]. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
Lời giải. Trên trục số, các đầu mút theo thứ tự –3 < 1 < 5 < 7.
- A ∩ B = (1; 5): số 1 không thuộc B, số 5 không thuộc A nên đều bỏ.
- A ∪ B = [–3; 7]: –3 thuộc A, 7 thuộc B.
- A \ B = [–3; 1]: số 1 thuộc A nhưng không thuộc B nên được lấy.
- B \ A = [5; 7]: số 5 thuộc B và không thuộc A nên được lấy.
Ví dụ 2. Cho A = (–∞; 2] và B = (0; +∞). Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B và CℝA.
Lời giải. A ∩ B = (0; 2]; A ∪ B = (–∞; +∞) = ℝ vì mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 2 hoặc lớn hơn 0; A \ B = (–∞; 0]; CℝA = (2; +∞).
Ví dụ 3. Cho A = [–1; 4) và B = {x ∈ ℝ | |x| < 2}. Tìm A ∩ B, A ∪ B và B \ A.
Lời giải. Trước hết viết B dưới dạng khoảng: |x| < 2 ⇔ –2 < x < 2 nên B = (–2; 2). Khi đó A ∩ B = [–1; 2), A ∪ B = (–2; 4), B \ A = (–2; –1).
Ví dụ 4. Cho A = (–2; 3] và B = [0; 5). Tập A ∩ B có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Lời giải. A ∩ B = [0; 3]. Các số nguyên trong đoạn này là 0; 1; 2; 3, vậy có 4 phần tử nguyên.
Ví dụ 5. Tìm phần bù của A = [–1; 3) trong ℝ.
Lời giải. Các số thực không thuộc A là những số nhỏ hơn –1 hoặc lớn hơn hoặc bằng 3. Vậy CℝA = (–∞; –1) ∪ [3; +∞). Chú ý đầu mút đổi kiểu ngoặc: –1 thuộc A nên không thuộc phần bù; 3 không thuộc A nên thuộc phần bù.
Ví dụ 6 (có tham số). Cho A = [m; m + 3] và B = (1; 5). Tìm m để: a) A ∩ B ≠ ∅; b) A ⊂ B.
Lời giải.
- a) Hai tập có phần chung khi đoạn A không nằm hẳn bên trái hoặc hẳn bên phải B: cần m < 5 và m + 3 > 1, tức –2 < m < 5. (Nếu m = 5 thì A = [5; 8] không chứa số nào nhỏ hơn 5; nếu m = –2 thì A = [–2; 1] không chứa số nào lớn hơn 1.)
- b) A ⊂ B khi cả hai đầu mút của A nằm trong khoảng mở (1; 5): m > 1 và m + 3 < 5, tức 1 < m < 2.
Ví dụ 7 (có tham số). Cho A = (–∞; m) và B = [2m – 1; +∞). Tìm m để A ∩ B = ∅.
Lời giải. A ∩ B = [2m – 1; m) khi 2m – 1 < m. Tập này khác rỗng khi và chỉ khi 2m – 1 < m ⇔ m < 1. Vậy A ∩ B = ∅ ⇔ m ≥ 1. Thử lại với m = 1: A = (–∞; 1), B = [1; +∞), quả thật không có phần chung.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 1. Liệt kê các phần tử của B = {x ∈ ℤ | –2 ≤ x < 3}.
- A. {–2; –1; 1; 2}
- B. {0; 1; 2}
- C. {–2; –1; 0; 1; 2}
- D. {–1; 0; 1; 2}
Đáp án C. Lấy cả –2 (dấu ≤), bỏ 3 (dấu <), và đừng quên số 0.
Câu 2. Cho tập A ≠ ∅. Mệnh đề nào sai?
- A. A ∩ A = A
- B. A ∩ ∅ = A
- C. A \ A = ∅
- D. A ∪ ∅ = A
Đáp án B, vì giao với tập rỗng luôn là tập rỗng.
Câu 3. Cách viết khác của D = {x ∈ ℝ | x ≠ –3} là:
- A. ℝ \ {–3}
- B. (–3; +∞)
- C. (–∞; –3)
- D. {–3}
Đáp án A. Có thể viết thêm D = (–∞; –3) ∪ (–3; +∞).
Câu 4. Cho A = (–5; 1] và B = [–2; 4). Tính A ∪ B và A \ B.
Đáp số: A ∪ B = (–5; 4); A \ B = (–5; –2).
Câu 5. Cho A = [2; +∞) và B = (–∞; 6). Tính A ∩ B và Cℝ(A ∩ B).
Đáp số: A ∩ B = [2; 6); Cℝ(A ∩ B) = (–∞; 2) ∪ [6; +∞).
Câu 6. Cho A = (m – 1; m + 2) và B = [0; 4]. Tìm m để A ⊂ B.
Đáp số: cần m – 1 ≥ 0 và m + 2 ≤ 4, tức 1 ≤ m ≤ 2. (Ở đây được lấy dấu bằng vì A là khoảng mở còn B là đoạn.)
Những lỗi hay gặp
- Viết ngoặc vuông cạnh ∞, ví dụ [2; +∞]: sai, ∞ luôn đi với ngoặc tròn.
- Khi lấy phần bù, giữ nguyên kiểu ngoặc ở đầu mút: phải đổi vuông thành tròn và ngược lại.
- Quên điều kiện tập hợp là số nguyên hay số thực: {x ∈ ℤ | …} là tập hữu hạn liệt kê được, còn {x ∈ ℝ | …} là một khoảng.
- Bài có tham số: quên xét trường hợp dấu bằng ở đầu mút. Luôn thử lại với giá trị biên của m.
Câu hỏi thường gặp
Giao của hai khoảng khi nào bằng tập rỗng?
Khi hai khoảng không có điểm chung trên trục số, tức đầu mút phải của khoảng này nhỏ hơn (hoặc bằng, nếu đầu mút không được lấy) đầu mút trái của khoảng kia.
Phần bù của đoạn [a; b] trong ℝ là gì?
Là (–∞; a) ∪ (b; +∞), vì a và b thuộc đoạn nên không thuộc phần bù.
Hợp của hai khoảng có luôn là một khoảng không?
Không. Nếu hai khoảng rời nhau thì hợp của chúng là hai khoảng tách biệt, ví dụ (0; 1) ∪ (2; 3).
Tại sao bên cạnh dấu vô cực luôn dùng ngoặc tròn?
Vì +∞ và –∞ không phải là số thực nên không thể thuộc tập hợp, đầu mút đó luôn không được lấy.