Trả lời nhanh
Vì AB // CD và AB // EF nên CD // EF, lại có DC = FE (cùng bằng AB), do đó DCEF là hình bình hành, suy ra DF // CE. Từ AD // BC và AF // BE ta có (ADF) // (BCE). Nếu M, N là trung điểm AC, BF thì MN là đường trung bình của tam giác BDF nên MN // DF, từ đó MN song song với (ADF), (BCE), (CDEF).
Đề bài và giả thiết thường gặp
Bài toán này có nhiều biến thể. Dạng phổ biến nhất: cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BF. Các yêu cầu hay gặp là:
- Chứng minh DCEF là hình bình hành.
- Chứng minh (ADF) // (BCE).
- Chứng minh MN // (ADF), MN // (BCE), MN // (CDEF).
Nếu đề của bạn có thêm điểm khác (trọng tâm, trung điểm cạnh khác), cách làm vẫn xoay quanh các quan hệ song song dưới đây.
Nhận xét then chốt: ba đường thẳng song song
Hai hình bình hành có chung cạnh AB. Trong ABCD ta có AB // CD, AB = CD. Trong ABEF ta có AB // EF, AB = EF. Cạnh AB chính là “cầu nối” để chuyển quan hệ song song từ hình này sang hình kia.
Ý 1: DCEF là hình bình hành
Dùng vectơ: ABCD là hình bình hành nên DC = AB (vectơ). ABEF là hình bình hành nên FE = AB. Suy ra DC = FE.
Hai vectơ bằng nhau, bốn điểm D, C, E, F không thẳng hàng (vì hai hình nằm trong hai mặt phẳng phân biệt) nên DCEF là hình bình hành. Hệ quả: DF // CE và DF = CE.
Cách khác không dùng vectơ: AB // CD, AB // EF ⇒ CD // EF (định lí về ba đường thẳng song song). Kết hợp CD = AB = EF ⇒ tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Ý 2: (ADF) // (BCE)
Dùng dấu hiệu: nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng song song.
- AD // BC (cạnh đối hình bình hành ABCD), mà BC ⊂ (BCE) và AD ⊄ (BCE) ⇒ AD // (BCE).
- AF // BE (cạnh đối hình bình hành ABEF), mà BE ⊂ (BCE) và AF ⊄ (BCE) ⇒ AF // (BCE).
- AD và AF cắt nhau tại A, cùng nằm trong (ADF).
Vậy (ADF) // (BCE).
Ý 3: MN song song với các mặt phẳng
M là trung điểm AC; vì ABCD là hình bình hành nên M cũng là trung điểm BD. Tam giác BDF có M là trung điểm BD, N là trung điểm BF nên MN là đường trung bình: MN // DF.
- MN // (ADF): DF ⊂ (ADF). Mặt phẳng (ADF) cắt (ABCD) theo đường thẳng AD, mà M không nằm trên AD nên M ∉ (ADF), do đó MN ⊄ (ADF). Vậy MN // (ADF).
- MN // (CDEF): DF ⊂ (CDEF). M nằm trên đường chéo AC, không thuộc đường thẳng DC (giao của (ABCD) và (CDEF)) nên MN ⊄ (CDEF). Vậy MN // (CDEF).
- MN // (BCE): MN // DF // CE, CE ⊂ (BCE), còn M không nằm trên BC nên MN ⊄ (BCE). Vậy MN // (BCE).
Lỗi sai thường gặp
- Kết luận “d // (P)” chỉ vì d song song với một đường trong (P) mà quên nói d không nằm trong (P). Đây là điều kiện bắt buộc.
- Chứng minh (ADF) // (BCE) chỉ bằng một cặp đường song song. Cần hai đường thẳng cắt nhau.
- Nhầm CDEF với CDFE: thứ tự đỉnh đúng của hình bình hành là D–C–E–F (DC // FE, DF // CE).
Mẹo nhớ
Gặp hai hình bình hành chung một cạnh, hãy “vẽ ba cạnh song song và bằng nhau” (AB, CD, EF), sau đó tìm hình bình hành thứ ba nối các đỉnh còn lại. Với trung điểm của đường chéo, nghĩ ngay đến đường trung bình.
Bài luyện tập
Bài 1. Với giả thiết như trên, gọi H, K lần lượt là trung điểm của DC và FE. Chứng minh HK // DF và HK // (ADF).
Gợi ý đáp án: DCEF là hình bình hành, DH = ½DC, FK = ½FE, hai vectơ DH và FK bằng nhau nên DHKF là hình bình hành, suy ra HK // DF. H không nằm trên AD nên HK ⊄ (ADF), do đó HK // (ADF).
Bài 2. Chứng minh (ADE) cắt (BCF) theo giao tuyến đi qua trung điểm của AC… hãy thử tự tìm: gọi O = AE ∩ BF (tâm hình bình hành ABEF), nhận xét xem O có thuộc cả hai mặt phẳng (ADE) và (BCF) không?
Gợi ý đáp án: O thuộc AE nên O ∈ (ADE); O thuộc BF nên O ∈ (BCF). Vậy O là một điểm chung. Điểm chung thứ hai là giao điểm của hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng (CDEF)… nên bài này cần đọc kĩ đề, hãy dùng DE ∩ CF (hai đường chéo của hình bình hành DCEF) để có điểm chung O′; giao tuyến là OO′.
Ghi chú: các ý trên là những yêu cầu thường gặp của bài toán; nếu đề của bạn khác, hãy áp dụng cùng phương pháp.
Câu hỏi thường gặp
Hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB thì CDEF là hình gì?
CDEF (đúng thứ tự D–C–E–F) là hình bình hành vì DC = AB = FE cùng hướng, nên DC // FE và DC = FE.
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song cần điều kiện gì?
Cần chỉ ra mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau và cả hai đều song song với mặt phẳng kia. Ở bài này là AD, AF song song với BC, BE.
Vì sao MN // DF?
M là trung điểm AC nên cũng là trung điểm BD; N là trung điểm BF. MN là đường trung bình của tam giác BDF nên song song với DF.
Khi chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, em hay mất điểm ở đâu?
Thường quên nêu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng đó. Phải viết rõ điều kiện này thì lập luận mới đầy đủ.