Trả lời nhanh
Khi đề cho đồ thị của đạo hàm f'(x), số điểm cực trị của hàm số y = f(x) bằng số điểm mà đồ thị f'(x) cắt trục hoành và đổi dấu khi đi qua điểm đó (từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương). Những điểm đồ thị chỉ chạm trục hoành rồi quay lại cùng phía thì f'(x) không đổi dấu, nên không phải điểm cực trị. Em chỉ cần đếm đúng các giao điểm đổi dấu là có đáp án.
Vì sao đọc đồ thị f'(x) lại tìm được cực trị của f(x)?
Theo định lí về cực trị, hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 khi f'(x) bằng 0 tại x0 và đổi dấu khi đi qua x0. Do đó em không cần biết công thức của f(x), chỉ cần nhìn xem đồ thị f'(x) nằm trên hay nằm dưới trục Ox ở hai phía của mỗi giao điểm.
- f'(x) > 0: đồ thị f'(x) nằm phía trên trục Ox, hàm số f(x) đồng biến.
- f'(x) < 0: đồ thị f'(x) nằm phía dưới trục Ox, hàm số f(x) nghịch biến.
- f'(x) đổi dấu từ dương sang âm: f(x) đạt cực đại. Đổi dấu từ âm sang dương: f(x) đạt cực tiểu.
Các bước làm nhanh
- Xác định tất cả điểm đồ thị f'(x) có chung điểm với trục hoành (nghiệm của f'(x) = 0).
- Với mỗi điểm, quan sát đồ thị hai phía: cắt xuyên qua trục Ox thì đổi dấu, chỉ chạm rồi quay lại thì không đổi dấu.
- Đếm số điểm đổi dấu. Đó là số điểm cực trị của f(x).
- Nếu đề hỏi cực đại hay cực tiểu, xét chiều đổi dấu để phân loại.
Ví dụ minh hoạ có hình
Giả sử đồ thị f'(x) có dạng như hình dưới đây, tức f'(x) = (x + 2)(x − 1)2(x − 3). Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm x = −2, x = 1 và x = 3.
- Tại x = −2: đồ thị đi từ phía trên xuống phía dưới trục Ox, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại.
- Tại x = 1: đồ thị đi lên chạm trục Ox rồi quay xuống, f'(x) vẫn âm ở cả hai phía (nhân tử (x − 1)2 không đổi dấu), nên x = 1 không là cực trị.
- Tại x = 3: f'(x) đổi dấu từ âm sang dương nên f(x) đạt cực tiểu.
Vậy trong ví dụ này hàm số có 2 điểm cực trị, dù f'(x) = 0 có tới 3 nghiệm. Đây chính là chỗ nhiều bạn đếm thừa.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm đồ thị f'(x) với đồ thị f(x). Nếu đề cho đồ thị của f(x) thì cực trị là điểm đồ thị đổi chiều lên xuống; còn đề cho đồ thị f'(x) thì phải xét dấu so với trục Ox. Hai cách đọc hoàn toàn khác nhau.
- Đếm cả điểm tiếp xúc. Nghiệm bội chẵn của f'(x) = 0 không làm f'(x) đổi dấu.
- Đếm điểm cắt trục tung. Cực trị chỉ liên quan đến giao điểm với trục hoành.
- Không phân biệt cực trị của f(x) với số nghiệm của f'(x) = 0. Số nghiệm thường nhiều hơn số cực trị vì còn nghiệm bội chẵn.
Mẹo nhớ
Em cứ tưởng tượng trục hoành là mặt nước và đồ thị f'(x) là con cá bơi. Con cá chui qua mặt nước (từ trên xuống dưới hoặc ngược lại) là một cực trị; con cá chỉ chạm mặt nước rồi quay đầu thì không tính.
Luyện tập
- Đồ thị f'(x) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt và đổi dấu tại cả bốn điểm. Hỏi f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? Đáp án: 4.
- Đồ thị f'(x) cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp xúc trục Ox tại một điểm khác. Hỏi f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? Đáp án: 2, vì điểm tiếp xúc không đổi dấu.
- Cho f'(x) = x(x − 2)2(x + 1). Tìm số điểm cực trị. Đáp án: 2 (tại x = 0 và x = −1; x = 2 là nghiệm kép nên bị loại).
Lưu ý: đề gốc phụ thuộc vào hình vẽ cụ thể, nên em hãy áp dụng đúng các bước trên cho hình trong đề của mình: đếm các giao điểm đổi dấu với trục hoành, bỏ các điểm chỉ tiếp xúc. Muốn ôn kĩ hơn về lí thuyết, em xem thêm bài về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12.
Câu hỏi thường gặp
Đề cho đồ thị f'(x) thì số điểm cực trị của f(x) bằng bao nhiêu?
Bằng số điểm mà đồ thị f'(x) cắt trục hoành và đổi dấu qua điểm đó. Các điểm chỉ tiếp xúc trục hoành không được tính.
Điểm tiếp xúc với trục hoành có phải cực trị không?
Không. Tại điểm tiếp xúc, f'(x) bằng 0 nhưng không đổi dấu (nghiệm bội chẵn), nên hàm số f(x) không đạt cực trị ở đó.
Làm sao biết đó là cực đại hay cực tiểu?
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x tăng thì là cực đại; từ âm sang dương thì là cực tiểu.
Đồ thị f'(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì sao?
Khi đó f'(x) luôn dương, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó và không có cực trị.