Đạo hàm cấp hai của hàm số y = ln(2x + 1): cách tính và bài tập

Với y = ln(2x + 1), điều kiện x > −1/2. Đạo hàm cấp một là y' = 2/(2x + 1). Đạo hàm cấp hai là y'' = −4/(2x + 1)2. Ta lấy đạo hàm hai lần: lần đầu dùng công thức (ln u)' = u'/u, lần hai dùng quy tắc đạo hàm của hàm lũy thừa (2x + 1)−1.

Đạo hàm ln(2x+1) và đạo hàm cấp hai: lời giải chi tiết

Trả lời nhanh

Với y = ln(2x + 1), điều kiện x > −1/2. Đạo hàm cấp một là y’ = 2/(2x + 1). Đạo hàm cấp hai là y” = −4/(2x + 1)². Ta lấy đạo hàm hai lần: lần đầu dùng công thức (ln u)’ = u’/u, lần hai dùng quy tắc đạo hàm của hàm lũy thừa (2x + 1)⁻¹.

Đề bài và hướng làm

Đề yêu cầu: tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = ln(2x + 1). Đây là câu a) trong một bài tập đạo hàm cấp hai (Toán 11), các ý còn lại thường là những hàm khác cùng dạng nên cách làm dưới đây dùng lại được.

Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một: y” = (y’)’. Vì vậy ta phải tìm y’ trước, rồi mới đạo hàm tiếp.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Tìm tập xác định. Hàm ln chỉ có nghĩa khi biểu thức bên trong dương: 2x + 1 > 0, tức x > −1/2. Tập xác định D = (−1/2; +∞).

Bước 2. Đạo hàm cấp một. Đặt u = 2x + 1 thì u’ = 2. Theo công thức (ln u)’ = u’/u:

y’ = 2/(2x + 1), với x > −1/2.

Bước 3. Đạo hàm cấp hai. Viết y’ = 2·(2x + 1)⁻¹. Áp dụng (uⁿ)’ = n·uⁿ⁻¹·u’ với n = −1, u = 2x + 1, u’ = 2:

y” = 2·(−1)·(2x + 1)⁻²·2 = −4/(2x + 1)².

Cách khác: dùng quy tắc thương (a/b)’ = (a’b − ab’)/b² với a = 2, b = 2x + 1: y” = (0·(2x+1) − 2·2)/(2x + 1)² = −4/(2x + 1)². Hai cách cho cùng kết quả.

Kết luận: y’ = 2/(2x + 1); y” = −4/(2x + 1)².

Kiểm tra nhanh kết quả

Tại x = 0: y’ = 2, y” = −4.
Tại x = 1: y’ = 2/3, y” = −4/9.
Vì mẫu là bình phương nên (2x + 1)² > 0 với mọi x > −1/2, do đó y” luôn âm. Hàm số lõm trên toàn tập xác định. Điều này khớp với đồ thị hàm ln, vốn có dạng “cong xuống”.
Một hệ thức đẹp: y’² = 4/(2x + 1)² nên y” = −(y’)². Nếu đề yêu cầu chứng minh hệ thức dạng này thì bạn đã có sẵn.

Công thức tổng quát cho ln(ax + b)

Với y = ln(ax + b), a ≠ 0, ax + b > 0:

y’ = a/(ax + b)
y” = −a²/(ax + b)²
y”’ = 2a³/(ax + b)³

Thử với a = 2, b = 1: y” = −4/(2x + 1)² và y”’ = 16/(2x + 1)³. Đúng như tính trực tiếp.

Mẹo nhớ: mỗi lần đạo hàm, bậc của mẫu tăng thêm 1, hệ số nhân thêm một thừa số a và đổi dấu theo chiều “−n”.

Lỗi sai thường gặp

Quên nhân u’. Viết (ln(2x + 1))’ = 1/(2x + 1) là sai; phải có tử số 2.
Quên nhân 2 ở lần đạo hàm thứ hai. Nhiều bạn ra y” = −2/(2x + 1)². Đúng phải là −4, vì có hệ số 2 ở y’ và thêm u’ = 2.
Bỏ điều kiện x > −1/2 khi đề yêu cầu nêu tập xác định.
Đạo hàm mẫu thành 2 chứ không phải bình phương mẫu. Hãy chuyển về lũy thừa âm để tránh nhầm.

Bài luyện tập (tự đặt) có đáp án

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau.

y = ln(3x − 2), với x > 2/3.
y = ln(1 − 2x), với x < 1/2.
y = x·ln(2x + 1), với x > −1/2.

Đáp án và gợi ý:

y’ = 3/(3x − 2); y” = −9/(3x − 2)².
y’ = −2/(1 − 2x); y” = −4/(1 − 2x)². Chú ý u’ = −2 và hai dấu trừ khử nhau ở lần đạo hàm sau: (−2)·(−1)·(−2) = −4.
Dùng quy tắc tích: y’ = ln(2x + 1) + 2x/(2x + 1). Đạo hàm tiếp: y” = 2/(2x + 1) + 2/(2x + 1)² = (4x + 4)/(2x + 1)². (Số hạng thứ hai đến từ (2x/(2x+1))’ = [2(2x+1) − 4x]/(2x+1)² = 2/(2x+1)².)

Tóm tắt cách làm

Tìm điều kiện để biểu thức trong ln dương.
Dùng (ln u)’ = u’/u để có y’.
Viết y’ dưới dạng lũy thừa hoặc dùng quy tắc thương để đạo hàm lần hai.
Rút gọn và kiểm tra bằng cách thay một giá trị x cụ thể.

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm của ln(2x+1) bằng bao nhiêu?

(ln(2x + 1))' = 2/(2x + 1), với x > −1/2. Công thức dùng là (ln u)' = u'/u, trong đó u = 2x + 1 và u' = 2.

Đạo hàm cấp hai của y = ln(2x+1) là gì?

y'' = −4/(2x + 1)². Ta lấy đạo hàm của y' = 2/(2x + 1) bằng quy tắc đạo hàm lũy thừa hoặc quy tắc thương.

Vì sao đạo hàm cấp hai của ln(2x+1) luôn âm?

Vì tử số −4 âm còn mẫu (2x + 1)² luôn dương trên tập xác định x > −1/2. Do đó đồ thị hàm số lõm (cong xuống) trên toàn khoảng này.

Công thức đạo hàm cấp hai của ln(ax+b) là gì?

y'' = −a²/(ax + b)², với a ≠ 0 và ax + b > 0. Thay a = 2, b = 1 ta được kết quả −4/(2x + 1)².