Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, u(n+1) = un + n: số hạng u4 là

Với dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un + n, ta tính lần lượt u2 = 1 + 1 = 2, u3 = 2 + 2 = 4, u4 = 4 + 3 = 7. Vậy số hạng u4 bằng 7. Muốn có u4 phải đi qua u2, u3 vì mỗi số hạng được xác định từ số hạng đứng ngay trước nó.

Cho dãy số un: u1 = 1, un+1 = un + n, số hạng u4 là

Trả lời nhanh

Với dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 1 và u_n+1 = u_n + n, ta tính lần lượt u₂ = 1 + 1 = 2, u₃ = 2 + 2 = 4, u₄ = 4 + 3 = 7. Vậy số hạng u₄ bằng 7. Muốn có u₄ phải đi qua u₂, u₃ vì mỗi số hạng được xác định từ số hạng đứng ngay trước nó.

Đề bài và cách hiểu công thức

Đề thường gặp: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 1, u_n+1 = u_n + n với mọi n ≥ 1. Số hạng u₄ là bao nhiêu?

Đây là dãy số cho bằng công thức truy hồi (quy nạp): biết số hạng đầu, rồi mỗi số hạng sau được tính từ số hạng ngay trước nó. Chữ n ở vế phải là chỉ số của số hạng đang có, không phải số hạng thứ n+1.

Tính từng bước

Bước	Thay n bằng	Tính	Kết quả
Số hạng đầu	–	u₁ cho sẵn	1
u₂	n = 1	u₂ = u₁ + 1 = 1 + 1	2
u₃	n = 2	u₃ = u₂ + 2 = 2 + 2	4
u₄	n = 3	u₄ = u₃ + 3 = 4 + 3	7

Vậy bốn số hạng đầu của dãy là 1; 2; 4; 7.

Kiểm tra bằng công thức tổng quát

Cộng dồn các hệ thức truy hồi: u_n = u₁ + 1 + 2 + … + (n − 1) = 1 + n(n − 1)/2.

n = 4: u₄ = 1 + 4·3/2 = 1 + 6 = 7 ✓.
n = 10: u₁₀ = 1 + 10·9/2 = 46.

Công thức này đặc biệt hữu ích khi đề hỏi số hạng ở vị trí xa như u₅₀, vì không cần tính từng bước.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm chỉ số n: khi tính u₄ lại cộng 4 thay vì 3. Nhớ: u₄ = u₃₊₁ nên n = 3.
Bỏ qua bước trung gian: tính ngay u₄ = u₁ + 4 là sai; phải qua u₂, u₃ (hoặc dùng tổng 1 + 2 + 3).
Đọc sai dấu: nếu đề là u_n+1 = u_n − n hay u_n+1 = n·u_n thì kết quả khác hẳn (xem bảng dưới).

So sánh khi đổi công thức truy hồi (u₁ = 1)

Công thức	u₂	u₃	u₄
u_n+1 = u_n + n	2	4	7
u_n+1 = u_n − n	0	−2	−5
u_n+1 = n·u_n	1	2	6

Bảng cho thấy chỉ cần đổi một dấu là đáp án thay đổi. Hãy đối chiếu kỹ đề của bạn; với đề ở trên (dấu cộng) đáp án là 7.

Mẹo làm nhanh

Với dạng u_n+1 = u_n + (biểu thức theo n), mỗi bước chỉ cộng thêm một đại lượng nên số hạng thứ k bằng u₁ cộng tổng k − 1 đại lượng đầu. Ở đây đại lượng cộng thêm là 1, 2, 3 nên u₄ = 1 + (1 + 2 + 3) = 7.

Bài luyện tập

Cho u₁ = 2, u_n+1 = u_n + 2n. Tính u₄.
Đáp án: u₂ = 4, u₃ = 8, u₄ = 14.
Cho u₁ = 3, u_n+1 = 2u_n − 1. Tính u₄.
Đáp án: u₂ = 5, u₃ = 9, u₄ = 17.
Với dãy trong đề bài (u₁ = 1, u_n+1 = u_n + n), tính u₁₀.
Đáp án: u₁₀ = 1 + 10·9/2 = 46.

Câu hỏi thường gặp

Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, u(n+1) = un + n thì u4 bằng bao nhiêu?

u4 = 7. Tính lần lượt u2 = 1 + 1 = 2, u3 = 2 + 2 = 4, u4 = 4 + 3 = 7.

Công thức số hạng tổng quát của dãy này là gì?

un = 1 + n(n − 1)/2. Công thức có được khi cộng dồn u(k+1) − uk = k với k từ 1 đến n − 1.

Dãy cho bằng công thức truy hồi là gì?

Là dãy cho trước một hay vài số hạng đầu và một hệ thức biểu diễn số hạng sau qua các số hạng đứng trước nó.

Khi tính u4 cần thay n bằng mấy?

Thay n = 3, vì u4 = u(3+1) = u3 + 3.