Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất: cách giải

Trả lời nhanh

Để khảo sát hàm y = (ax² + bx + c)/(a’x + b’), em làm 3 bước: (1) tìm tập xác định D = ℝ \ {−b’/a’}; (2) chia đa thức để có y = px + q + r/(a’x + b’), suy ra tiệm cận đứng x = −b’/a’ và tiệm cận xiên y = px + q, tính y’, lập bảng biến thiên; (3) vẽ hai tiệm cận, các điểm đặc biệt rồi vẽ hai nhánh đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận.

1. Dạng hàm số và những điều cần biết

Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất có dạng y = (ax² + bx + c)/(a’x + b’) với a ≠ 0, a’ ≠ 0 và tử số không chia hết cho mẫu số. Dạng này nằm trong nội dung khảo sát hàm số của Toán 12 chương trình mới (cả ba bộ sách) và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.

Chia đa thức: luôn viết được y = px + q + r/(a’x + b’) với r ≠ 0. Đây là “chìa khoá” để tìm tiệm cận xiên.
Tiệm cận đứng: x = −b’/a’. Tiệm cận xiên: y = px + q, vì lim_x→±∞[y − (px + q)] = lim r/(a’x + b’) = 0.
Tâm đối xứng: giao điểm I của hai tiệm cận.
Đạo hàm nhanh: y’ = (aa’x² + 2ab’x + bb’ − a’c)/(a’x + b’)².

Nhận xét quan trọng: đặt g(x) = aa’x² + 2ab’x + bb’ − a’c, ta có g(x) = aa'(x + b’/a’)² + g(−b’/a’). Vì vậy phương trình y’ = 0 hoặc có hai nghiệm phân biệt đối xứng qua tiệm cận đứng, hoặc vô nghiệm, không bao giờ có nghiệm kép. Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi aa’ và g(−b’/a’) trái dấu.

2. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị

Tập xác định: D = ℝ \ {−b’/a’}.
Sự biến thiên:
- Tính giới hạn tại vô cực và giới hạn một bên tại x = −b’/a’; kết luận tiệm cận đứng.
- Chia đa thức, kết luận tiệm cận xiên.
- Tính y’, giải y’ = 0, xét dấu y’.
- Lập bảng biến thiên; nêu các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Đồ thị: vẽ hai tiệm cận (nét đứt), đánh dấu điểm cực trị, giao điểm với các trục, lấy thêm vài điểm rồi vẽ hai nhánh nhận I làm tâm đối xứng.

3. Bốn dạng đồ thị thường gặp

	y’ = 0 có 2 nghiệm	y’ = 0 vô nghiệm
aa’ > 0	Có CĐ (nghiệm nhỏ) và CT (nghiệm lớn); hai nhánh “chữ U” nằm chéo nhau	Đồng biến trên từng khoảng xác định, không có cực trị
aa’ < 0	Có CT (nghiệm nhỏ) và CĐ (nghiệm lớn)	Nghịch biến trên từng khoảng xác định, không có cực trị

Mẹo nhớ: dấu của aa’ chính là dấu của hệ số bậc hai trong tử của y’. Hệ số dương thì y’ “dương – âm – âm – dương” (xen giữa là tiệm cận đứng), nên cực đại đứng trước cực tiểu.

4. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x² + x + 1)/(x + 1)

Tập xác định: D = ℝ \ {−1}. Chia đa thức: y = x + 1/(x + 1).

Tiệm cận: lim_x→−1⁻ y = −∞, lim_x→−1⁺ y = +∞ nên x = −1 là tiệm cận đứng. lim_x→±∞(y − x) = lim 1/(x + 1) = 0 nên y = x là tiệm cận xiên.

Đạo hàm: y’ = 1 − 1/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)²; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −2.

x	−∞		−2		−1		0		+∞
y’		+	0	−	\|\|	−	0	+
y	−∞	↗	−3	↘	−∞ \|\| +∞	↘	1	↗	+∞

Kết luận: hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (0; +∞), nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0). Cực đại tại x = −2, y_CĐ = −3; cực tiểu tại x = 0, y_CT = 1.

Đồ thị: cắt trục tung tại (0; 1); không cắt trục hoành vì x² + x + 1 = 0 vô nghiệm. Đồ thị nhận I(−1; −1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất y = (x² + x + 1)/(x + 1) với tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận xiên y = x — Hình 1. Đồ thị y = (x² + x + 1)/(x + 1): cực đại (−2; −3), cực tiểu (0; 1), tâm đối xứng I(−1; −1)

Ví dụ 2. Khảo sát hàm số y = (−x² + 2x − 2)/(x − 1)

D = ℝ \ {1}; y = −x + 1 − 1/(x − 1). Tiệm cận đứng x = 1 (lim_x→1⁻ y = +∞, lim_x→1⁺ y = −∞), tiệm cận xiên y = −x + 1.

y’ = (−x² + 2x)/(x − 1)²; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Ở đây aa’ = −1 < 0 nên y’ mang dấu “− 0 + || + 0 −”.

x	−∞		0		1		2		+∞
y’		−	0	+	\|\|	+	0	−
y	+∞	↘	2	↗	+∞ \|\| −∞	↗	−2	↘	−∞

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2 và đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = −2. Chú ý: giá trị cực tiểu lớn hơn giá trị cực đại. Điều này hoàn toàn bình thường vì hai điểm cực trị nằm trên hai nhánh khác nhau; cực trị chỉ mang tính “địa phương”.

Đồ thị hàm số y = (−x² + 2x − 2)/(x − 1) có giá trị cực tiểu lớn hơn giá trị cực đại — Hình 2. Đồ thị y = (−x² + 2x − 2)/(x − 1): cực tiểu (0; 2) nằm cao hơn cực đại (2; −2)

Ví dụ 3. Hàm số không có cực trị: y = (x² − 2x − 3)/(x − 2)

D = ℝ \ {2}; y = x − 3/(x − 2). Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x, tâm đối xứng I(2; 2).

y’ = 1 + 3/(x − 2)² = (x² − 4x + 7)/(x − 2)² > 0 với mọi x ≠ 2, vì x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 > 0. Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (2; +∞), không có cực trị. Đồ thị cắt trục hoành tại (−1; 0), (3; 0) và cắt trục tung tại (0; 3/2).

5. Bài toán có tham số

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y = (x² + mx + 1)/(x + m) đạt cực đại tại x = 2.

Giải. D = ℝ \ {−m}. Áp dụng công thức đạo hàm nhanh: y’ = (x² + 2mx + m² − 1)/(x + m)² = [(x + m)² − 1]/(x + m)².

y’ = 0 ⇔ x = −m − 1 hoặc x = −m + 1 (luôn có hai nghiệm phân biệt, đúng như nhận xét ở mục 1). Vì aa’ = 1 > 0 nên điểm cực đại là nghiệm nhỏ: −m − 1 = 2 ⇔ m = −3.

Thử lại: với m = −3, y = (x² − 3x + 1)/(x − 3), y’ đổi dấu từ + sang − khi qua x = 2, y(2) = 1. Vậy m = −3.

Lỗi hay gặp: giải y'(2) = 0 được m = −1 hoặc m = −3 rồi kết luận cả hai. Với m = −1, x = 2 lại là điểm cực tiểu, phải loại.

6. Mẹo tính nhanh và lỗi sai thường gặp

Giá trị cực trị nhanh: tại điểm cực trị x₀, y(x₀) = (2ax₀ + b)/a’. Từ đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = (2ax + b)/a’. Kiểm tra ở Ví dụ 1: y(0) = 1, y(−2) = −3, đúng.
Không viết hợp khoảng: viết “đồng biến trên (−∞; −2) và (0; +∞)”, không viết “trên (−∞; −2) ∪ (0; +∞)”.
Quên loại điểm làm mẫu bằng 0 khi giải y’ = 0 hoặc khi tìm giao điểm với trục.
Tìm sai tiệm cận xiên do chia đa thức nhầm; nên kiểm tra lại bằng cách nhân ngược.
Vẽ đồ thị cắt tiệm cận đứng: hai nhánh chỉ tiến sát chứ không bao giờ chạm đường x = −b’/a’.

7. Bài tập tự luyện có đáp án

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (2x² − 3x + 2)/(x − 1).
Đáp án: y = 2x − 1 + 1/(x − 1); tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = 2x − 1.
Tìm cực trị của hàm số y = (x² + 3)/(x + 1).
Đáp án: y’ = (x² + 2x − 3)/(x + 1)²; cực đại tại x = −3, y_CĐ = −6; cực tiểu tại x = 1, y_CT = 2.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ở bài 2.
Đáp án: y = 2x (dùng công thức y = (2ax + b)/a’ với a = 1, b = 0, a’ = 1).
Tìm m để hàm số y = (x² + 2x + m)/(x + 1) có hai điểm cực trị.
Đáp án: tử của y’ là x² + 2x + 2 − m, cần có hai nghiệm phân biệt khác −1 ⇔ m > 1. (Khi m = 1, hàm số suy biến thành y = x + 1 với x ≠ −1.)

Ôn thêm dạng gần: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất, trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số và biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.

Câu hỏi thường gặp

Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất có những đường tiệm cận nào?

Có một tiệm cận đứng x = −b'/a' và một tiệm cận xiên y = px + q, tìm được bằng cách chia tử cho mẫu để viết y = px + q + r/(a'x + b').

Khi nào hàm số y = (ax² + bx + c)/(a'x + b') có cực trị?

Khi tử của y' là aa'x² + 2ab'x + bb' − a'c có hai nghiệm phân biệt khác −b'/a'; khi đó hàm số luôn có đúng hai điểm cực trị.

Vì sao giá trị cực tiểu có thể lớn hơn giá trị cực đại?

Vì hai điểm cực trị nằm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị, ngăn cách bởi tiệm cận đứng; cực trị chỉ so sánh với các điểm lân cận.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất là điểm nào?

Là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.