Kiểm tra sản phẩm của một nhà máy: cách giải xác suất

Trả lời nhanh

Khi đề cho “trung bình cứ 100 sản phẩm có k phế phẩm”, ta hiểu xác suất một sản phẩm bị lỗi là p = k/100, xác suất sản phẩm tốt là 1 − p. Sau đó chọn mô hình: nếu các sản phẩm được kiểm tra độc lập thì nhân xác suất; nếu lấy từ một lô cố định 100 sản phẩm thì dùng tổ hợp.

Lưu ý: đề gốc của bài này thường bị cắt mất số liệu cụ thể (số phế phẩm trong 100 sản phẩm và yêu cầu tính). Vì vậy dưới đây thầy cô hướng dẫn phương pháp chung, kèm các ví dụ có số liệu do thầy cô tự đặt. Em chỉ cần thay số của đề mình vào là giải được.

Bước 1: Đổi “trung bình cứ 100 sản phẩm có k phế phẩm” thành xác suất

Cụm “trung bình cứ 100 sản phẩm có k phế phẩm” cho ta tỉ lệ phế phẩm của nhà máy. Ta lấy tỉ lệ này làm xác suất của biến cố “sản phẩm bị lỗi”.

Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là phế phẩm”: P(A) = k/100.
Biến cố đối: “sản phẩm tốt”, P(Ā) = 1 − k/100.

Ví dụ (số tự đặt): trung bình cứ 100 sản phẩm có 4 phế phẩm thì P(phế phẩm) = 0,04 và P(tốt) = 0,96.

Bước 2: Xác định mô hình – nhân xác suất hay dùng tổ hợp?

Tình huống đề bài	Cách tính
Nhà máy sản xuất rất nhiều, kiểm tra vài sản phẩm bất kì; các sản phẩm độc lập	Quy tắc nhân: P = p^a·(1 − p)^b, thêm hệ số tổ hợp nếu không quan tâm thứ tự
Cho một lô đúng 100 sản phẩm có sẵn k phế phẩm, lấy ngẫu nhiên n sản phẩm	Định nghĩa cổ điển: P = số cách chọn thuận lợi / C₁₀₀ⁿ

Mẹo nhận biết: thấy chữ “trung bình” thì thường là tỉ lệ chung của nhà máy (mô hình độc lập). Thấy “một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có k phế phẩm” thì là mô hình tổ hợp.

Ví dụ 1: kiểm tra 3 sản phẩm độc lập

Đề (số tự đặt): Trung bình cứ 100 sản phẩm có 4 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất: a) cả 3 đều tốt; b) có ít nhất 1 phế phẩm; c) có đúng 1 phế phẩm.

Giải. p = 0,04; q = 0,96.

Cả 3 tốt: 0,96³ = 0,884736.
Ít nhất 1 phế phẩm là biến cố đối của câu a: 1 − 0,884736 = 0,115264.
Đúng 1 phế phẩm: chọn vị trí của phế phẩm có 3 cách, nên P = 3·0,04·0,96² = 3·0,04·0,9216 = 0,110592.

Vì sao dùng biến cố đối ở câu b? “Ít nhất 1” gồm các trường hợp 1, 2, 3 phế phẩm – tính trực tiếp dài. Lấy 1 trừ xác suất “không có phế phẩm nào” ngắn hơn nhiều.

Ví dụ 2: lấy từ một lô 100 sản phẩm

Đề (số tự đặt): Một lô có 100 sản phẩm, trong đó 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất: a) cả hai tốt; b) có đúng 1 phế phẩm; c) có ít nhất 1 phế phẩm.

Giải. Số cách chọn 2 sản phẩm: C₁₀₀² = 4950.

Cả hai tốt: C₉₆² = 4560 cách, P = 4560/4950 = 152/165 ≈ 0,921.
Đúng 1 phế phẩm: 4·96 = 384 cách, P = 384/4950 = 64/825 ≈ 0,078.
Ít nhất 1 phế phẩm: 1 − 152/165 = 13/165 ≈ 0,079.

Kiểm tra lại: cả hai phế phẩm có C₄² = 6 cách. Cộng 4560 + 384 + 6 = 4950 đúng bằng tổng số cách, nên các kết quả khớp nhau.

Lỗi sai thường gặp

Quên đổi tỉ lệ phần trăm: 4 phế phẩm trên 100 là 0,04 chứ không phải 4.
Nhầm “đúng 1 phế phẩm” với “ít nhất 1 phế phẩm”.
Quên hệ số 3 (hoặc C_n^k) khi không quan tâm thứ tự sản phẩm lỗi.
Dùng quy tắc nhân (độc lập) cho bài lấy từ lô nhỏ, hoặc ngược lại. Với lô nhỏ, lấy không hoàn lại làm xác suất thay đổi sau mỗi lần lấy.

Bài luyện tập

Trung bình cứ 100 sản phẩm có 2 phế phẩm. Kiểm tra 3 sản phẩm độc lập. Tính xác suất có ít nhất 1 phế phẩm.
Đáp án: 1 − 0,98³ = 1 − 0,941192 = 0,058808.
Một lô có 50 sản phẩm, trong đó 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất cả hai đều tốt.
Đáp án: C₄₅²/C₅₀² = 990/1225 = 198/245 ≈ 0,808.
Với tỉ lệ phế phẩm 5/100, kiểm tra 2 sản phẩm độc lập. Tính xác suất đúng 1 phế phẩm.
Đáp án: 2·0,05·0,95 = 0,095.

Nếu em có đề đầy đủ, hãy xác định: (1) tỉ lệ phế phẩm, (2) mô hình độc lập hay lô cố định, (3) yêu cầu là “đúng”, “ít nhất” hay “nhiều nhất”. Ba điều này quyết định công thức cần dùng.

Câu hỏi thường gặp

Trung bình cứ 100 sản phẩm có 5 phế phẩm thì xác suất gặp phế phẩm là bao nhiêu?

Xác suất một sản phẩm là phế phẩm là 5/100 = 0,05, và xác suất sản phẩm tốt là 0,95.

Khi nào dùng quy tắc nhân, khi nào dùng tổ hợp?

Dùng quy tắc nhân khi các sản phẩm độc lập với tỉ lệ lỗi cố định (nhà máy sản xuất nhiều). Dùng tổ hợp khi đề cho một lô có số sản phẩm xác định và lấy ngẫu nhiên không hoàn lại.

Tính xác suất có ít nhất một phế phẩm thế nào cho nhanh?

Lấy 1 trừ xác suất không có phế phẩm nào, tức là dùng biến cố đối: P = 1 − (1 − p)^n với n sản phẩm độc lập.