Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Trả lời nhanh

Để xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định, ta tìm tập xác định rồi dựa vào định lí: hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, căn thức, lượng giác liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng. Với hàm cho bởi nhiều công thức, ta xét riêng từng khoảng rồi kiểm tra giới hạn tại điểm nối.

Kiến thức cần nhớ

Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ (thuộc tập xác định) khi lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Liên tục trên đoạn [a; b] nếu liên tục trên (a; b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
Hàm đa thức liên tục trên ℝ. Hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn thức, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Tổng, hiệu, tích của các hàm liên tục là hàm liên tục. Thương của hai hàm liên tục là hàm liên tục tại những điểm mẫu khác 0.

Các bước xét tính liên tục trên tập xác định

Tìm tập xác định D của hàm số.
Nhận dạng hàm: đa thức, phân thức, căn thức, lượng giác hay hàm cho bởi nhiều công thức.
Nếu là hàm sơ cấp, dùng định lí để kết luận liên tục trên từng khoảng của D.
Nếu là hàm chia nhánh, xét từng nhánh (mỗi nhánh là hàm sơ cấp), sau đó tính giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm tại điểm nối.
Kết luận rõ: liên tục trên những khoảng nào, gián đoạn tại điểm nào (nếu có).

Ví dụ minh hoạ (đề tự đặt theo dạng thường gặp)

Ví dụ 1: Hàm phân thức

Xét tính liên tục của f(x) = (x + 2)/(x² − 3x + 2).

Giải. Mẫu bằng 0 khi x² − 3x + 2 = 0, tức x = 1 hoặc x = 2. Vậy D = ℝ \ {1; 2}.

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định, nên f liên tục trên (−∞; 1), (1; 2) và (2; +∞). Hàm không xác định tại x = 1 và x = 2 nên không đặt vấn đề liên tục tại hai điểm này.

Ví dụ 2: Hàm căn thức

Xét tính liên tục của g(x) = √(x − 1)/(x + 3).

Giải. Điều kiện: x − 1 ≥ 0 và x + 3 ≠ 0, nên D = [1; +∞) (vì x ≥ 1 thì x + 3 ≥ 4 ≠ 0).

√(x − 1) liên tục trên [1; +∞) (tại x = 1 liên tục phải), x + 3 liên tục và khác 0 trên D. Vậy g liên tục trên [1; +∞).

Ví dụ 3: Hàm lượng giác

Xét tính liên tục của h(x) = tan x + 2x.

Giải. tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ (k ∈ ℤ). Do đó D = ℝ \ {π/2 + kπ}. Hàm tan x và đa thức 2x đều liên tục trên D nên h liên tục trên từng khoảng (−π/2 + kπ; π/2 + kπ).

Ví dụ 4: Hàm cho bởi nhiều công thức

Cho f(x) = (x² − 4)/(x − 2) nếu x ≠ 2 và f(2) = 4. Xét tính liên tục của f trên ℝ.

Giải. D = ℝ.

Với x ≠ 2: f(x) = (x² − 4)/(x − 2) là phân thức hữu tỉ, liên tục trên (−∞; 2) và (2; +∞).
Tại x = 2: lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4 = f(2).

Vậy f liên tục tại x = 2, do đó liên tục trên ℝ.

Ví dụ 5: Tìm tham số để hàm liên tục

Cho f(x) = (x² − 4)/(x − 2) nếu x ≠ 2 và f(2) = m. Tìm m để f liên tục trên ℝ.

Giải. Ngoài x = 2, hàm luôn liên tục. Tại x = 2 giới hạn bằng 4, nên f liên tục khi và chỉ khi m = 4. Với m ≠ 4, hàm gián đoạn tại x = 2.

Lỗi sai thường gặp

Quên tìm tập xác định rồi kết luận “liên tục trên ℝ” cho hàm phân thức. Câu hỏi luôn là liên tục trên tập xác định, nên phải tìm D trước.
Nhầm “gián đoạn” với “không xác định”. Điểm không thuộc D thì không xét liên tục tại đó. Chỉ nói hàm gián đoạn tại x₀ khi x₀ thuộc D mà một trong các điều kiện liên tục bị vi phạm.
Bỏ quên điểm nối ở hàm chia nhánh: từng nhánh liên tục chưa đủ, phải so sánh giới hạn hai phía với giá trị hàm tại điểm nối.
Rút gọn sai khi khử dạng 0/0: chỉ rút gọn thừa số chung (x − x₀) khi tính giới hạn, không dùng để đổi tập xác định.

Mẹo nhớ

Hàm sơ cấp “đã xác định thì liên tục”. Vì vậy với hàm sơ cấp, toàn bộ công việc nằm ở bước tìm tập xác định. Với hàm chia nhánh, hãy nhớ “ba số phải bằng nhau” tại điểm nối: giới hạn trái = giới hạn phải = giá trị hàm.

Bài luyện tập có đáp án

Xét tính liên tục của f(x) = (x² − 5x + 6)/(x² − 9).
Đáp án: D = ℝ \ {−3; 3}; f liên tục trên (−∞; −3), (−3; 3), (3; +∞).
Xét tính liên tục của g(x) = √(4 − x²).
Đáp án: 4 − x² ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2, D = [−2; 2]; g liên tục trên [−2; 2].
Cho f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2) nếu x ≠ 2 và f(2) = 2. Hàm có liên tục trên ℝ không?
Đáp án: Với x ≠ 2, f(x) = x + 1 nên lim_x→2 f(x) = 3 ≠ f(2) = 2. Hàm gián đoạn tại x = 2, liên tục trên (−∞; 2) và (2; +∞). (Hàm sẽ liên tục trên ℝ nếu đặt f(2) = 3.)

Câu hỏi thường gặp

Hàm phân thức có liên tục trên ℝ không?

Không phải lúc nào cũng vậy. Hàm phân thức hữu tỉ chỉ liên tục trên từng khoảng của tập xác định, tức là bỏ đi các điểm làm mẫu bằng 0. Chỉ khi mẫu vô nghiệm thì hàm mới liên tục trên toàn ℝ.

Hàm số gián đoạn tại điểm không thuộc tập xác định phải không?

Về cách nói, ta chỉ xét liên tục hay gián đoạn tại các điểm thuộc tập xác định. Tại điểm không thuộc tập xác định, hàm không xác định nên không xét tính liên tục ở đó.

Khi nào hàm chia nhánh liên tục tại điểm nối?

Khi giới hạn trái, giới hạn phải tại điểm nối tồn tại, bằng nhau và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

Hàm √x có liên tục tại x = 0 không?

Tập xác định là [0; +∞). Tại x = 0 hàm liên tục phải vì lim khi x tiến về 0 từ bên phải của √x bằng 0 = f(0), nên hàm liên tục trên [0; +∞).