Trả lời nhanh
Với hàm số y = tan x + cos x, chỉ có tan x đòi hỏi điều kiện: cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ (k ∈ ℤ). Còn cos x xác định với mọi x nên không thêm điều kiện nào. Vậy tập xác định là D = ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.
Đề bài và cách hiểu
Đề thường cho một học sinh giải theo từng bước (Bước 1 là đặt điều kiện để hàm số có nghĩa), rồi yêu cầu tìm bước sai hoặc kết luận đúng. Vì không có đủ nguyên văn các bước, bài này giải theo phương pháp chuẩn và chỉ ra những chỗ học sinh hay sai nhất. Bạn đối chiếu với lời giải trong đề của mình là biết bước nào có vấn đề.
Lời giải chuẩn từng bước
- Bước 1 – Đặt điều kiện. Ta có tan x = sin x / cos x, nên tan x có nghĩa khi cos x ≠ 0. Hàm cos x có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.
- Bước 2 – Giải điều kiện. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.
- Bước 3 – Kết luận. D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}.
Chú ý: tổng của hai hàm số có nghĩa khi cả hai hàm có nghĩa, nên tập xác định là giao của hai tập xác định: (ℝ \ {π/2 + kπ}) ∩ ℝ = ℝ \ {π/2 + kπ}.
Những chỗ học sinh hay làm sai
| Cách làm sai | Vì sao sai |
|---|---|
| Viết thêm điều kiện cos x ≠ 0 vì “có hạng tử cos x” | cos x là hàm đa thức lượng giác, xác định với mọi x. Điều kiện cos x ≠ 0 đến từ tan x, không phải từ hạng tử cos x. |
| Đặt điều kiện tan x ≠ 0 (hoặc sin x ≠ 0) | tan x = 0 vẫn có nghĩa (tại x = kπ). Chỉ mẫu số cos x mới bị cấm bằng 0. |
| Kết luận x ≠ kπ/2 | Đó là tập xác định của cot x cộng tan x cùng lúc, hoặc của tan x + cot x. Với tan x riêng thì chỉ loại x = π/2 + kπ. |
| Viết x ≠ π/2 + k2π | Chu kỳ của tan x là π, không phải 2π. Phải loại cả x = −π/2, 3π/2, … |
| Thiếu “k ∈ ℤ” hoặc thiếu ℝ \ { } | Kết luận không đầy đủ nên bị trừ điểm. |
Mẹo nhớ
- “tan lo mẫu cos, cot lo mẫu sin”: tan x cấm cos x = 0, cot x cấm sin x = 0.
- Gặp tổng/hiệu/tích nhiều hàm, đặt điều kiện cho từng hàm rồi lấy giao.
- Các điểm cos x = 0 trên đường tròn lượng giác là hai điểm đối xứng nhau qua gốc (trên trục tung), nên chỉ cần một công thức x = π/2 + kπ.
Biến thể cùng đáp án
Nếu đề là y = tan x · cos x hoặc y = tan x / cos x, điều kiện vẫn gồm cos x ≠ 0 (với dạng chia, mẫu cos x ≠ 0 cũng đúng cùng điều kiện). Ví dụ y = tan x · cos x tuy rút gọn được thành sin x, nhưng tập xác định vẫn là ℝ \ {π/2 + kπ} vì phải đặt điều kiện trước khi rút gọn.
Bài luyện tập
- Tìm tập xác định của y = tan 2x.
Đáp án: 2x ≠ π/2 + kπ ⇔ x ≠ π/4 + kπ/2. D = ℝ \ {π/4 + kπ/2, k ∈ ℤ}. - Tìm tập xác định của y = tan(x − π/3).
Đáp án: x − π/3 ≠ π/2 + kπ ⇔ x ≠ 5π/6 + kπ. D = ℝ \ {5π/6 + kπ, k ∈ ℤ}. - Tìm tập xác định của y = 1/(1 − tan x).
Đáp án: cần cos x ≠ 0 và tan x ≠ 1, tức x ≠ π/2 + kπ và x ≠ π/4 + kπ. D = ℝ \ {π/2 + kπ, π/4 + kπ; k ∈ ℤ}.
Câu hỏi thường gặp
Tập xác định của hàm số y = tan x là gì?
D = ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}, vì tan x = sin x / cos x chỉ có nghĩa khi cos x ≠ 0.
Hàm số y = tan x + cos x có cần thêm điều kiện cho cos x không?
Không. cos x xác định với mọi số thực x, nên điều kiện duy nhất là cos x ≠ 0 do tan x đòi hỏi.
Vì sao x ≠ π/2 + kπ chứ không phải x ≠ π/2 + k2π?
Vì cos x = 0 tại π/2, 3π/2, −π/2, … cách nhau π. Chu kỳ của tan x là π nên phải dùng kπ.
Hàm y = tan x · cos x rút gọn thành sin x thì tập xác định là ℝ đúng không?
Sai. Phải đặt điều kiện trước khi rút gọn, nên tập xác định vẫn là ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.