Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức A = (sin²α + 2sinα·cosα)/(cos²α − 3sin²α)
Lớp 10Toán

Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức A = (sin²α + 2sinα·cosα)/(cos²α − 3sin²α)

Trả lời nhanh

Với tan α = 2 thì A = (sin2α + 2sinα·cosα)/(cos2α − 3sin2α) = −8/11. Cách nhanh nhất: chia cả tử và mẫu cho cos2α (cos α ≠ 0) để đưa về tan α, được A = (tan2α + 2tanα)/(1 − 3tan2α) = (4 + 4)/(1 − 12) = 8/(−11).

Đề bài và cách hiểu đề

Đề gốc thường được viết gọn là «sin2a», tức là sin2α (bình phương của sin α), không phải sin của góc 2α. Bài này đọc là:

Cho tan α = 2. Tính A = (sin2α + 2sinα·cosα)/(cos2α − 3sin2α).

Đặc điểm của biểu thức: tử và mẫu đều là các số hạng bậc hai đối với sin α, cos α (sin2, sin·cos, cos2). Người ta gọi đó là biểu thức đẳng cấp (thuần nhất) bậc hai. Gặp dạng này, hãy nghĩ ngay đến việc chia cho cos2α.

Cách 1: Chia tử và mẫu cho cos2α

Vì tan α = 2 có nghĩa nên cos α ≠ 0, ta chia được cả tử và mẫu cho cos2α.

  1. Tử: (sin2α + 2sinα·cosα)/cos2α = tan2α + 2tanα.
  2. Mẫu: (cos2α − 3sin2α)/cos2α = 1 − 3tan2α.
  3. Thay tan α = 2: tử = 4 + 4 = 8; mẫu = 1 − 3·4 = −11.

Vậy A = 8/(−11) = −8/11.

Cách 2: Tính trực tiếp sin2α, cos2α, sinα·cosα

Dùng công thức 1 + tan2α = 1/cos2α:

  • cos2α = 1/(1 + 4) = 1/5.
  • sin2α = 1 − 1/5 = 4/5.
  • sinα·cosα = tanα·cos2α = 2·(1/5) = 2/5 (đúng với mọi góc α thỏa tan α = 2, kể cả khi sin α, cos α cùng âm).

Thay vào: tử = 4/5 + 2·(2/5) = 8/5; mẫu = 1/5 − 3·(4/5) = −11/5. Suy ra A = (8/5)/(−11/5) = −8/11. Hai cách cho cùng kết quả.

Vì sao không cần biết α nằm ở góc phần tư nào?

Biểu thức chỉ chứa sin2α, cos2α và tích sinα·cosα. Các đại lượng này đều xác định duy nhất khi biết tan α. Nếu đề hỏi sin α hoặc cos α riêng lẻ thì mới phải xét dấu theo góc phần tư (có hai đáp án trái dấu).

Lỗi sai thường gặp

  • Chỉ chia tử cho cos α, mẫu cho cos2α: phải chia cả tử và mẫu cho cùng một đại lượng.
  • Quên số 1: cos2α/cos2α = 1, nhiều bạn bỏ mất và viết mẫu là −3tan2α = −12.
  • Nhầm sin2α với sin2α: nếu hiểu là góc nhân đôi, sin2α = 2tanα/(1 + tan2α) = 4/5 và cos2α = (1 − tan2α)/(1 + tan2α) = −3/5. Đó là bài khác, kết quả khác.
  • Sai dấu ở mẫu: 1 − 12 = −11, không phải 11.

Mẹo nhớ

«Đồng bậc thì chia, chia cho cos mũ cao nhất.» Nếu biểu thức bậc nhất (như (sinα − 3cosα)/(2sinα + cosα)) thì chia cho cos α; bậc hai thì chia cho cos2α. Nếu đề cho cot α, hãy chia cho sin.

Bài luyện tập

  1. Cho tan α = 2. Tính B = (sinα − 3cosα)/(2sinα + cosα).
    Đáp án: chia cho cos α: B = (2 − 3)/(4 + 1) = −1/5.
  2. Cho tan α = 3. Tính C = (sin2α + 2sinα·cosα)/(cos2α − 3sin2α).
    Đáp án: C = (9 + 6)/(1 − 27) = −15/26.
  3. Cho tan α = 2. Tính D = sin2α − sinα·cosα + cos2α.
    Gợi ý: D = (tan2α − tanα + 1)/(1 + tan2α) = (4 − 2 + 1)/5 = 3/5.

Câu hỏi thường gặp

Cho tan α = 2 thì A = (sin²α + 2sinα cosα)/(cos²α − 3sin²α) bằng bao nhiêu?

A = −8/11. Chia cả tử và mẫu cho cos²α rồi thay tan α = 2: (4 + 4)/(1 − 12) = −8/11.

Vì sao được chia cho cos²α?

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0, do đó cos²α ≠ 0 và phép chia hợp lệ.

Có cần biết α ở góc phần tư nào không?

Không. Biểu thức chỉ chứa sin²α, cos²α và sinα·cosα, các giá trị này được xác định duy nhất từ tan α.

Nếu sin2α là sin của góc 2α thì kết quả có đổi không?

Có. Khi đó phải dùng công thức góc nhân đôi (sin2α = 4/5, cos2α = −3/5 với tan α = 2) và biểu thức là bài toán khác.

Bài học liên quan