Trả lời nhanh
Đường cao kẻ từ A của tam giác là ha = 7√2/2 (≈ 4,95). Cách làm: định lí côsin cho a² = 49 + 25 − 2·7·5·(3/5) = 32, nên a = 4√2. Từ sinA = 4/5 suy ra diện tích S = ½·7·5·(4/5) = 14. Cuối cùng ha = 2S/a = 28/(4√2) = 7√2/2.
Đề bài và hướng suy nghĩ
Đề: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cosA = 3/5. Tính đường cao ha của tam giác. Ở đây b = CA, c = AB, a = BC và ha là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Đề cho hai cạnh kề và góc xen giữa (góc A). Với dữ kiện dạng “cạnh – góc – cạnh” này, ta nghĩ ngay đến hai công cụ: định lí côsin để tìm cạnh còn lại, và công thức diện tích S = ½bc·sinA.
Cách 1: tính qua diện tích
- Tìm cạnh a. a² = b² + c² − 2bc·cosA = 49 + 25 − 2·7·5·(3/5) = 74 − 42 = 32. Vậy a = √32 = 4√2.
- Tìm sinA. Vì 0° < A < 180° nên sinA > 0. sin²A = 1 − (3/5)² = 16/25, suy ra sinA = 4/5.
- Tính diện tích. S = ½·b·c·sinA = ½·7·5·(4/5) = 14.
- Tính đường cao. Do S = ½·a·ha nên ha = 2S/a = 28/(4√2) = 7/√2 = 7√2/2.
Cách 2: dùng định lí sin rồi ha = b·sinC
Từ a/sinA = c/sinC ta có sinC = c·sinA/a = 5·(4/5)/(4√2) = 1/√2 = √2/2.
Trong tam giác vuông AHC (H là chân đường cao), ha = AC·sinC = 7·(√2/2) = 7√2/2. Hai cách cho cùng kết quả nên ta yên tâm.
Còn một điều thú vị: sinC = √2/2 và cạnh a ngắn hơn b nên góc C = 45°. Điều này khớp với hình vẽ ở trên, nơi tam giác AHC vuông cân tại H.
Kiểm tra nhanh kết quả
| Đại lượng | Giá trị | Ghi chú |
|---|---|---|
| a | 4√2 ≈ 5,66 | thoả bất đẳng thức tam giác: 2 < a < 12 |
| sinA | 4/5 | (3/5)² + (4/5)² = 1 |
| S | 14 | cả hai cách đều ra 14 |
| ha | 7√2/2 ≈ 4,95 | nhỏ hơn c = 5 và b = 7, hợp lí vì đường cao ngắn hơn mọi cạnh bên |
Mẹo kiểm tra: đường cao ha luôn nhỏ hơn hoặc bằng cả b và c. Nếu tính ra ha > 5 thì chắc chắn đã sai.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm a với a². Quên lấy căn bậc hai sau khi tính a² = 32 sẽ làm ha sai hẳn.
- Tính sai dấu trong định lí côsin. Công thức là b² + c² trừ 2bc·cosA. Cộng thay vì trừ sẽ cho a² = 116.
- Dùng sai cặp cạnh – góc. Diện tích ½bc·sinA cần góc A nằm giữa hai cạnh b và c.
- Quên trục căn ở mẫu. 7/√2 và 7√2/2 bằng nhau, nhưng bài thường yêu cầu viết dạng 7√2/2.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho tam giác ABC có b = 3, c = 8, góc A = 60°. Tính ha.
Đáp án: a² = 9 + 64 − 2·3·8·½ = 49 nên a = 7. S = ½·3·8·(√3/2) = 6√3. ha = 2S/a = 12√3/7.
Bài 2. Cho tam giác ABC có b = c = 5, cosA = 7/25. Tính ha.
Đáp án: a² = 25 + 25 − 2·25·(7/25) = 50 − 14 = 36 nên a = 6. sinA = 24/25 nên S = ½·25·(24/25) = 12. Vậy ha = 24/6 = 4. (Kiểm tra: tam giác cân có nửa đáy 3, cạnh bên 5, đường cao 4 theo bộ ba 3–4–5.)
Bài 3. Với tam giác ở đề bài, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Đáp án: R = a/(2·sinA) = 4√2/(2·4/5) = 5√2/2.
Ghi nhớ
- Biết hai cạnh và góc xen giữa: dùng định lí côsin để tìm cạnh thứ ba.
- Từ cosA suy ra sinA = √(1 − cos²A) khi A là góc của tam giác.
- Đường cao: ha = 2S/a, và S = ½bc·sinA.
Câu hỏi thường gặp
Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, cosA = 3/5 thì cạnh a bằng bao nhiêu?
Áp dụng định lí côsin: a² = 7² + 5² − 2·7·5·(3/5) = 32, suy ra a = 4√2 ≈ 5,66.
Đường cao h_a của tam giác này bằng bao nhiêu?
h_a = 7√2/2 ≈ 4,95. Diện tích tam giác là S = 14 nên h_a = 2S/a = 28/(4√2) = 7√2/2.
Vì sao sinA = 4/5 mà không phải −4/5?
A là góc của tam giác, nằm trong khoảng 0° đến 180°, nên sinA luôn dương. Do đó sinA = √(1 − 9/25) = 4/5.
Có cách nào kiểm tra nhanh đáp án h_a không?
Có. Tính sinC bằng định lí sin được √2/2, rồi h_a = b·sinC = 7·√2/2. Kết quả trùng với cách dùng diện tích.