Trả lời nhanh
Bài toán “trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được dùng tối đa…” là bài quy hoạch tuyến tính. Gọi x, y là số bánh mỗi loại, viết mỗi nguyên liệu thành một bất phương trình, vẽ miền nghiệm rồi thay các đỉnh vào biểu thức điểm (hoặc tiền lãi) để tìm giá trị lớn nhất. Ở ví dụ bên dưới, đội gói 20 bánh loại A và 10 bánh loại B được 80 điểm, cao nhất.
Lưu ý: đề gốc có thể dùng các số liệu khác (loại bánh, khối lượng gạo, đậu, thịt…). Vì vậy thầy cô trình bày phương pháp chung, rồi giải một ví dụ do chúng tôi tự đặt. Em chỉ cần thay số của đề mình vào đúng các bước là ra đáp án.
Nhận dạng bài toán
Đề thường có các dấu hiệu sau:
- Có hai loại sản phẩm (ví dụ bánh chưng và bánh tét, hoặc bánh loại I và loại II).
- Mỗi nguyên liệu bị giới hạn: “tối đa”, “không quá”, “được phát”.
- Cần tìm số lượng để đạt điểm số, tiền thưởng hay lợi nhuận lớn nhất.
Đây là nội dung “Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” của Toán 10, thường kết hợp ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp giải 4 bước
- Đặt ẩn và điều kiện. Gọi x là số bánh loại A, y là số bánh loại B; x ≥ 0, y ≥ 0 (và là số nguyên).
- Lập hệ bất phương trình. Mỗi nguyên liệu cho một bất phương trình: (lượng dùng cho x bánh A) + (lượng dùng cho y bánh B) ≤ (lượng được phát).
- Vẽ miền nghiệm và xác định các đỉnh của đa giác.
- Tính F tại từng đỉnh, so sánh và chọn giá trị lớn nhất. F đạt cực trị tại một đỉnh của miền nghiệm.
Ví dụ tự đặt có lời giải
Đề (ví dụ): Mỗi đội được phát tối đa 5 kg gạo nếp và 2 kg đậu xanh. Một bánh loại A cần 0,2 kg gạo và 0,05 kg đậu; một bánh loại B cần 0,1 kg gạo và 0,1 kg đậu. Bánh A được 3 điểm, bánh B được 2 điểm. Hỏi đội nên gói mấy bánh mỗi loại để tổng điểm lớn nhất?
Bước 1–2: Lập hệ
Gọi x, y là số bánh A, B.
- Gạo: 0,2x + 0,1y ≤ 5, nhân 10 được 2x + y ≤ 50.
- Đậu: 0,05x + 0,1y ≤ 2, nhân 20 được x + 2y ≤ 40.
- x ≥ 0, y ≥ 0.
Cần tìm giá trị lớn nhất của F = 3x + 2y.
Bước 3: Miền nghiệm
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh O(0; 0), P(25; 0), Q(20; 10) và R(0; 20). Đỉnh Q là giao của hai đường thẳng: từ 2x + y = 50 suy ra y = 50 − 2x, thế vào x + 2y = 40 được x + 100 − 4x = 40, nên x = 20 và y = 10.
Bước 4: Tính F tại các đỉnh
| Đỉnh | Tọa độ | F = 3x + 2y |
|---|---|---|
| O | (0; 0) | 0 |
| P | (25; 0) | 75 |
| Q | (20; 10) | 80 |
| R | (0; 20) | 40 |
Kết luận: F lớn nhất bằng 80 tại Q(20; 10). Đội nên gói 20 bánh loại A và 10 bánh loại B. Khi đó gạo dùng 0,2·20 + 0,1·10 = 5 kg và đậu dùng 0,05·20 + 0,1·10 = 2 kg, tức là dùng hết cả hai nguyên liệu.
Lỗi sai thường gặp
- Quên đổi đơn vị: đề cho gam, kg, lạng lẫn lộn thì phải đưa về cùng đơn vị trước khi lập bất phương trình.
- Viết sai dấu: “tối đa”, “không quá” là ≤. “Ít nhất”, “tối thiểu” là ≥.
- Bỏ điều kiện x, y ≥ 0 nên miền nghiệm bị vẽ thiếu hoặc thừa.
- Tính sai giao điểm: hãy thử lại bằng cách thay tọa độ đỉnh vào cả hai phương trình.
- Không kiểm tra số nguyên: số bánh phải nguyên. Nếu đỉnh có tọa độ lẻ thì phải xét các điểm nguyên gần đó nằm trong miền nghiệm.
Mẹo nhớ
Lập một bảng nhỏ gồm các hàng là nguyên liệu và các cột là loại bánh. Đọc ngang từng hàng sẽ ra ngay một bất phương trình. Nhờ vậy em không bị lẫn lượng dùng của bánh A với bánh B.
Bài luyện tập
Bài 1. Một đội được phát tối đa 8 kg thịt và 12 kg gạo. Bánh chưng cần 0,4 kg thịt và 0,6 kg gạo, bánh tét cần 0,2 kg thịt và 0,8 kg gạo. Viết hệ bất phương trình cho số bánh x, y.
Đáp án: 0,4x + 0,2y ≤ 8 (hay 2x + y ≤ 40); 0,6x + 0,8y ≤ 12 (hay 3x + 4y ≤ 60); x ≥ 0, y ≥ 0.
Bài 2. Với hệ ở bài 1, điểm (10; 5) có thuộc miền nghiệm không?
Đáp án: 2·10 + 5 = 25 ≤ 40 và 3·10 + 4·5 = 50 ≤ 60, nên điểm này thuộc miền nghiệm.
Bài 3. Trong ví dụ chính, nếu bánh A được 2 điểm và bánh B được 3 điểm thì phương án tốt nhất là gì?
Đáp án: F = 2x + 3y. Tại O là 0, tại P là 50, tại Q là 40 + 30 = 70, tại R là 60. Giá trị lớn nhất là 70 tại Q(20; 10).
Câu hỏi thường gặp
Bài toán cuộc thi gói bánh thuộc dạng toán nào?
Đó là bài toán quy hoạch tuyến tính ở mức cơ bản trong Toán 10: lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vẽ miền nghiệm rồi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by.
Vì sao chỉ cần xét giá trị của F tại các đỉnh?
Biểu thức F = ax + by là hàm bậc nhất, nên trên miền đa giác lồi nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một đỉnh của miền đó. Vì vậy chỉ cần tính F tại các đỉnh rồi so sánh.
Số liệu trong đề của em khác ví dụ thì làm thế nào?
Em giữ nguyên 4 bước: đặt ẩn, lập bất phương trình cho từng nguyên liệu, vẽ miền nghiệm, tính F tại các đỉnh. Chỉ cần thay hệ số bằng số liệu của đề em.
Đỉnh tìm được có tọa độ không nguyên thì sao?
Số bánh phải là số nguyên, nên em xét các điểm nguyên nằm trong miền nghiệm gần đỉnh đó, tính F rồi chọn điểm cho giá trị tốt nhất.