Trả lời nhanh
Nếu vectơ AB = vectơ AC thì điểm B trùng điểm C. Hai vectơ bằng nhau phải cùng hướng và cùng độ dài; mà chúng lại cùng gốc A nên cùng nằm trên một tia xuất phát từ A và có cùng độ dài, do đó điểm cuối B và C phải trùng nhau. Khi đó không tồn tại tam giác ABC.
Đề bài và các phương án thường gặp
Câu hỏi: “Nếu vectơ AB = vectơ AC thì:”
- A. Tam giác ABC là tam giác cân.
- B. Tam giác ABC là tam giác đều.
- C. A là trung điểm của đoạn BC.
- D. Điểm B trùng với điểm C.
Đáp án đúng: D.
Giải thích vì sao chọn D
Theo định nghĩa, hai vectơ a và b bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Áp dụng cho AB và AC:
- Cùng hướng: B và C nằm trên cùng một tia gốc A.
- Cùng độ dài: AB = AC.
Trên một tia gốc A, chỉ có đúng một điểm cách A một khoảng cho trước. Vậy B và C là cùng một điểm.
Cách nghĩ khác: từ AB = AC suy ra AB − AC = 0, tức vectơ CB = 0 (vectơ-không). Vectơ-không chỉ xảy ra khi điểm đầu trùng điểm cuối, nên B ≡ C.
Loại trừ các phương án sai
| Phương án | Vì sao sai |
|---|---|
| A. Tam giác cân | Vì B ≡ C nên ba điểm A, B, C không tạo thành tam giác. Tam giác cân tại A chỉ cần độ dài AB = AC, còn đẳng thức vectơ đòi hỏi nhiều hơn rất nhiều. |
| B. Tam giác đều | Tương tự, không có tam giác nào; hơn nữa tam giác đều cần thêm AB = BC. |
| C. A là trung điểm BC | A là trung điểm BC khi và chỉ khi vectơ AB = −vectơ AC (hai vectơ đối nhau), hoặc vectơ AB = vectơ CA. Đây là hai vectơ ngược hướng, không phải bằng nhau. |
| D. B trùng C | Đúng, như đã chứng minh ở trên. |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm độ dài với vectơ: |AB| = |AC| chỉ cho biết tam giác ABC cân tại A (nếu A, B, C không thẳng hàng). Còn AB = AC (có mũi tên) là đẳng thức vectơ, mạnh hơn nhiều.
- Quên yếu tố hướng: hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng thì là hai vectơ đối nhau, không bằng nhau.
- Chọn “cân” vì thấy chữ AB, AC quen thuộc – đây chính là bẫy của câu hỏi này.
Mẹo nhớ
Hai vectơ cùng gốc mà bằng nhau thì cùng ngọn. Ngược lại, hai vectơ cùng gốc, cùng độ dài nhưng ngược hướng thì gốc chung là trung điểm của đoạn nối hai ngọn.
Bài luyện tập
- Nếu vectơ AB = −vectơ AC thì A có vị trí thế nào đối với đoạn BC?
Đáp án: A là trung điểm của BC (hai vectơ cùng độ dài, ngược hướng và cùng gốc A). - Cho bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng sao cho vectơ AB = vectơ DC. Tứ giác ABCD là hình gì?
Đáp án: Hình bình hành, vì AB song song và bằng DC, cùng hướng. - Nếu |AB| = |AC| và A, B, C không thẳng hàng thì tam giác ABC có đặc điểm gì?
Đáp án: Tam giác cân tại A.
Câu hỏi thường gặp
Hai vectơ bằng nhau khi nào?
Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Vectơ không phụ thuộc vị trí điểm đặt nên có thể tịnh tiến mà không đổi.
Nếu AB = AC (vectơ) thì tam giác ABC có cân không?
Không có tam giác ABC, vì khi đó B trùng C. Tam giác cân tại A chỉ cần độ dài AB = AC, không cần đẳng thức vectơ.
Khi nào A là trung điểm của đoạn BC theo ngôn ngữ vectơ?
Khi vectơ AB = vectơ CA, tương đương vectơ AB + vectơ AC = vectơ 0, hay vectơ AB = −vectơ AC.