Bài tập giới hạn hàm số có đáp án, lời giải chi tiết

Trả lời nhanh

Muốn tính giới hạn hàm số, luôn thử thay trực tiếp giá trị x₀ trước. Nếu ra một số xác định thì đó là đáp số; nếu gặp dạng vô định 0/0, ∞/∞ hay ∞ − ∞ thì phải khử: phân tích nhân tử, nhân liên hợp với biểu thức chứa căn, hoặc chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x. Bài viết gồm 30 bài tập chia 7 dạng, có lời giải từng bước.

Tóm tắt lý thuyết cần nhớ

Phép toán: nếu lim f(x) = L và lim g(x) = M thì giới hạn của tổng, hiệu, tích lần lượt là L + M, L − M, L·M; giới hạn của thương là L/M khi M ≠ 0.
Giới hạn một bên: lim_x→x₀ f(x) = L khi và chỉ khi giới hạn bên trái và bên phải tại x₀ cùng bằng L.
Tại vô cực: với c là hằng số và k nguyên dương, lim c/x^k = 0 khi x → ±∞.
Quy tắc L/0: nếu tử dần tới L ≠ 0, mẫu dần tới 0 thì giới hạn là +∞ hoặc −∞; dấu được xác định bởi dấu của L và dấu của mẫu khi x tiến gần x₀.
Đa thức tại vô cực: giới hạn bằng giới hạn của hạng tử bậc cao nhất, ví dụ x³ − 2x² + 5 → +∞ khi x → +∞.

Dạng 1: Thay trực tiếp

Dùng khi hàm số xác định tại x₀ và không tạo ra dạng vô định.

Bài 1. Tính lim_x→2 (x² + 3x − 1).
Lời giải: thay x = 2 được 4 + 6 − 1 = 9.

Bài 2. Tính lim_x→−1 (2x + 5)/(x − 3).
Lời giải: mẫu tại x = −1 bằng −4 ≠ 0, nên giới hạn bằng 3/(−4) = −3/4.

Bài 3. Tính lim_x→3 √(x + 6).
Lời giải: √(3 + 6) = 3.

Dạng 2: Dạng 0/0 với phân thức đa thức – phân tích nhân tử

Khi thay x₀ mà cả tử và mẫu cùng bằng 0, cả hai đều chứa nhân tử (x − x₀). Hãy tách nhân tử này rồi rút gọn.

Bài 4. lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3).
Lời giải: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), rút gọn còn x + 3 → 6.

Bài 5. lim_x→1 (x² − 3x + 2)/(x² − 1).
Lời giải: tử = (x − 1)(x − 2), mẫu = (x − 1)(x + 1). Rút gọn được (x − 2)/(x + 1) → (1 − 2)/2 = −1/2.

Bài 6. lim_x→2 (x³ − 8)/(x² − 4).
Lời giải: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4), x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Giới hạn bằng (4 + 4 + 4)/4 = 3.

Bài 7. lim_x→−2 (2x² + 3x − 2)/(x + 2).
Lời giải: 2x² + 3x − 2 = (x + 2)(2x − 1). Rút gọn còn 2x − 1 → −5.

Bài 8. lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x³ − 1).
Lời giải: x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1), x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). Giới hạn bằng (2·2)/3 = 4/3.

Mẹo: nếu x₀ là nghiệm của đa thức thì có thể chia đa thức cho (x − x₀) bằng sơ đồ Horner để tìm nhân tử còn lại thật nhanh.

Dạng 3: Dạng 0/0 chứa căn – nhân liên hợp

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để làm mất căn ở vị trí gây ra số 0, dựa vào (√A − B)(√A + B) = A − B² và hằng đẳng thức a³ − b³ với căn bậc ba.

Bài 9. lim_x→0 (√(x + 4) − 2)/x.
Lời giải: nhân liên hợp được x/[x(√(x + 4) + 2)] = 1/(√(x + 4) + 2) → 1/4.

Bài 10. lim_x→5 (√(x + 4) − 3)/(x − 5).
Lời giải: (√(x + 4) − 3)(√(x + 4) + 3) = x − 5. Giới hạn bằng 1/(3 + 3) = 1/6.

Bài 11. lim_x→1 (x − 1)/(√(x + 3) − 2).
Lời giải: căn nằm ở mẫu nên nhân liên hợp cho mẫu: biểu thức bằng √(x + 3) + 2 → 4.

Bài 12. lim_x→0 (√(1 + 2x) − 1)/x.
Lời giải: biểu thức bằng 2x/[x(√(1 + 2x) + 1)] = 2/(√(1 + 2x) + 1) → 1.

Bài 13. lim_x→2 (√(x + 2) − √(3x − 2))/(x − 2).
Lời giải: nhân với √(x + 2) + √(3x − 2), tử thành (x + 2) − (3x − 2) = −2(x − 2). Giới hạn bằng −2/(2 + 2) = −1/2.

Bài 14. lim_x→0 (∛(1 + 3x) − 1)/x.
Lời giải: đặt t = ∛(1 + 3x) thì t³ − 1 = 3x và t − 1 = 3x/(t² + t + 1). Khi x → 0 thì t → 1, giới hạn bằng 3/3 = 1.

Dạng 4: Dạng ∞/∞ – chia cho lũy thừa bậc cao nhất

Quy tắc nhanh với phân thức đa thức khi x → ±∞: bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì giới hạn bằng 0; bậc bằng nhau thì giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất; bậc tử lớn hơn thì giới hạn là vô cực.

Bài 15. lim_x→+∞ (3x² − x + 1)/(2x² + 5).
Lời giải: chia tử và mẫu cho x², được (3 − 1/x + 1/x²)/(2 + 5/x²) → 3/2.

Bài 16. lim_x→+∞ (x + 1)/(x² + 2).
Lời giải: bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu, chia cho x² được (1/x + 1/x²)/(1 + 2/x²) → 0.

Bài 17. lim_x→−∞ (x³ − 2x)/(x² + 1).
Lời giải: viết thành x · (1 − 2/x²)/(1 + 1/x²). Phân thức dần tới 1, còn x → −∞ nên giới hạn là −∞.

Bài 18. lim_x→−∞ √(x² + 1)/(2x − 3).
Lời giải: vì x < 0 nên √(x² + 1) = |x|√(1 + 1/x²) = −x√(1 + 1/x²). Chia tử và mẫu cho x được −√(1 + 1/x²)/(2 − 3/x) → −1/2.

Bài 19. lim_x→+∞ (√(4x² + x) + x)/(3x − 1).
Lời giải: với x > 0, √(4x² + x) = x√(4 + 1/x). Chia cho x được (√(4 + 1/x) + 1)/(3 − 1/x) → (2 + 1)/3 = 1.

Dạng 5: Dạng ∞ − ∞ và đa thức tại vô cực

Bài 20. lim_x→+∞ (√(x² + 4x) − x).
Lời giải: nhân liên hợp được 4x/(√(x² + 4x) + x). Chia cho x: 4/(√(1 + 4/x) + 1) → 2.

Bài 21. lim_x→−∞ (√(x² + 2x) + x).
Lời giải: nhân liên hợp được 2x/(√(x² + 2x) − x). Vì x < 0, mẫu bằng −x(√(1 + 2/x) + 1). Giới hạn bằng −2/(1 + 1) = −1.

Bài 22. lim_x→+∞ (x³ − 2x² + 5).
Lời giải: viết x³(1 − 2/x + 5/x³), ngoặc dần tới 1 và x³ → +∞, nên giới hạn là +∞.

Dạng 6: Giới hạn một bên và giới hạn vô cực

Bài 23. Tính lim_x→2⁺ (x + 1)/(x − 2) và lim_x→2⁻ (x + 1)/(x − 2).
Lời giải: tử dần tới 3 > 0. Khi x → 2⁺, mẫu dương và dần tới 0 nên giới hạn là +∞; khi x → 2⁻, mẫu âm nên giới hạn là −∞.

Bài 24. lim_x→1⁻ (2x − 5)/(x − 1).
Lời giải: tử dần tới −3 < 0, mẫu âm khi x < 1. Âm chia âm cho kết quả dương nên giới hạn là +∞.

Bài 25. Hàm số f(x) = |x|/x có giới hạn khi x → 0 không?
Lời giải: với x > 0 thì f(x) = 1, với x < 0 thì f(x) = −1. Giới hạn phải bằng 1, giới hạn trái bằng −1, khác nhau nên không tồn tại giới hạn tại 0.

Bài 26. Cho f(x) = x² + 1 khi x ≥ 1 và f(x) = 3x + m khi x < 1. Tìm m để f có giới hạn tại x = 1.
Lời giải: giới hạn phải bằng 2, giới hạn trái bằng 3 + m. Cần 3 + m = 2, suy ra m = −1.

Dạng 7: Tìm tham số và bài toán thực tế

Bài 27. Tìm a để lim_x→+∞ (ax² + 3x)/(2x² − 1) = 3.
Lời giải: hai bậc bằng nhau nên giới hạn bằng a/2. Giải a/2 = 3 được a = 6.

Bài 28. Tìm a, b để lim_x→1 (x² + ax + b)/(x − 1) = 3.
Lời giải: mẫu dần tới 0 mà giới hạn hữu hạn nên tử phải bằng 0 tại x = 1: 1 + a + b = 0. Khi đó tử = (x − 1)(x + 1 + a), giới hạn bằng 2 + a = 3. Vậy a = 1, b = −2.

Bài 29. Tìm a để lim_x→+∞ (√(x² + ax) − x) = 5.
Lời giải: nhân liên hợp được ax/(√(x² + ax) + x) → a/2. Cho a/2 = 5 được a = 10.

Bài 30. Một xưởng có chi phí cố định 50 triệu đồng và chi phí 20 nghìn đồng cho mỗi sản phẩm. Chi phí trung bình khi sản xuất x sản phẩm là C(x) = (50 000 000 + 20 000x)/x (đồng). Tính lim_x→+∞ C(x) và nêu ý nghĩa.
Lời giải: C(x) = 50 000 000/x + 20 000 → 20 000 đồng. Khi sản xuất càng nhiều, chi phí cố định được chia nhỏ dần và chi phí trung bình mỗi sản phẩm tiến gần 20 nghìn đồng nhưng không bao giờ thấp hơn mức này.

Bảng đáp án nhanh

Bài	Đáp số	Bài	Đáp số	Bài	Đáp số
1	9	11	4	21	−1
2	−3/4	12	1	22	+∞
3	3	13	−1/2	23	+∞ và −∞
4	6	14	1	24	+∞
5	−1/2	15	3/2	25	Không tồn tại
6	3	16	0	26	m = −1
7	−5	17	−∞	27	a = 6
8	4/3	18	−1/2	28	a = 1, b = −2
9	1/4	19	1	29	a = 10
10	1/6	20	2	30	20 000 đồng

Lỗi sai thường gặp

Quên dấu khi đưa x ra khỏi căn: √(x²) = |x|, nên khi x → −∞ phải viết −x. Đây là lí do Bài 18 ra −1/2 chứ không phải 1/2, và Bài 21 ra −1.
Kết luận vội khi thấy 0/0: 0/0 không phải là 0 hay 1, đó là dấu hiệu phải biến đổi tiếp.
Nhầm dấu ở dạng L/0: phải xét dấu của mẫu ở phía x tiến tới (bên trái hay bên phải), không chỉ nhìn vào tử.
Tách giới hạn ∞ − ∞ thành hiệu hai giới hạn: phép tách chỉ hợp lệ khi cả hai giới hạn hữu hạn.
Bỏ quên điều kiện cần ở bài tìm tham số: nếu mẫu dần tới 0 mà giới hạn hữu hạn thì tử bắt buộc dần tới 0, đây là phương trình đầu tiên cần lập.

Bài tự luyện (có đáp số)

lim_x→3 (x² − 5x + 6)/(x − 3). Đáp số: 1.
lim_x→−∞ (2x − 1)/√(x² + 1). Đáp số: −2 (chú ý dấu khi đưa x ra khỏi căn).
lim_x→−1 (x³ + 1)/(x + 1). Đáp số: 3.

Tài liệu liên quan

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Bài tập Hàm số liên tục có đáp án – Toán 11

Câu hỏi thường gặp

Khi nào phải khử dạng vô định trong bài tập giới hạn hàm số?

Khi thay trực tiếp x0 hoặc xét x → ±∞ mà gặp các dạng 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ hoặc 0·∞. Lúc đó cần biến đổi bằng phân tích nhân tử, nhân liên hợp hoặc chia cho lũy thừa cao nhất.

Vì sao giới hạn tại âm vô cực của biểu thức chứa căn hay bị sai dấu?

Vì √(x²) = |x| và khi x âm thì |x| = −x. Nếu quên dấu trừ này, kết quả sẽ bị đổi dấu.

Làm sao biết giới hạn của hàm số tại một điểm không tồn tại?

Tính giới hạn bên trái và bên phải. Nếu hai giới hạn này khác nhau, hoặc một trong hai không tồn tại, thì hàm số không có giới hạn tại điểm đó.

Có thể kiểm tra nhanh kết quả bằng máy tính cầm tay không?

Có thể thay x rất gần x0 (ví dụ x0 + 0,000001) hoặc x rất lớn để ước lượng, nhưng cách này chỉ dùng để kiểm tra, bài tự luận vẫn phải trình bày biến đổi.