Trả lời nhanh
Công thức (1) là S = ½·ab·sinC. Định lý sin cho c/sinC = 2R, suy ra sinC = c/(2R). Thay vào (1): S = ½·ab·c/(2R) = abc/(4R). Vậy diện tích tam giác bằng tích ba cạnh chia cho bốn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ở đây R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đề bài và các kiến thức cần dùng
Đề bài: Dựa vào công thức (1) và định lý sin, hãy chứng minh rằng diện tích tam giác ABC là S = abc/(4R).
Trong đề, công thức (1) là công thức tính diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa. Chữ R trong công thức là bán kính đường tròn ngoại tiếp, không phải bán kính đường tròn nội tiếp r. Nhiều bạn gõ nhầm thành “4r” khi tìm kiếm.
- Công thức (1): S = ½·ab·sinC (cũng viết được S = ½·bc·sinA = ½·ca·sinB).
- Định lý sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.
- Kí hiệu: a = BC, b = CA, c = AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
- Viết công thức (1): S = ½·a·b·sinC.
- Lấy từ định lý sin: c/sinC = 2R, nên sinC = c/(2R).
- Thay sinC vào (1): S = ½·a·b·c/(2R).
- Rút gọn: ½ · 1/(2R) = 1/(4R), nên S = abc/(4R). ∎
Vì sao cách làm này hiệu quả?
Công thức (1) có sinC, còn kết quả cần chứng minh không có góc nào. Vậy ta phải “khử” sinC bằng các cạnh. Định lý sin chính là cầu nối: nó đổi sinC thành c/(2R), và R xuất hiện đúng như trong kết quả cần chứng minh.
Mẹo nhớ: “Diện tích bằng tích ba cạnh, chia bốn lần R”. Đơn vị cũng hợp lý: (độ dài)³ chia độ dài ra (độ dài)², đúng là đơn vị diện tích.
Cách chứng minh khác (để kiểm tra chéo)
Có thể viết a = 2R·sinA và b = 2R·sinB từ định lý sin. Khi đó S = ½·ab·sinC = ½·(2R sinA)(2R sinB)·sinC = 2R²·sinA·sinB·sinC. Lại thay sinC = c/(2R) và sinA·sinB = ab/(4R²), ta thu được S = 2R²·ab/(4R²)·c/(2R) = abc/(4R). Kết quả trùng với cách trên.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm R với r: công thức S = pr (p là nửa chu vi) dùng bán kính nội tiếp; công thức S = abc/(4R) dùng bán kính ngoại tiếp.
- Nhầm định lý sin thành a/sinA = R: đúng phải là bằng 2R (đường kính).
- Dùng góc không xen giữa: với S = ½·ab·sinC, góc C phải nằm giữa hai cạnh a và b.
- Quên hệ số: ½ nhân với 1/(2R) là 1/(4R), đừng viết thành 1/(2R).
Ứng dụng: tính R khi biết ba cạnh
Từ S = abc/(4R) suy ra R = abc/(4S). Khi biết ba cạnh, ta tính S bằng công thức Heron rồi tính R.
Ví dụ kiểm tra: tam giác vuông cạnh 3, 4, 5 có S = ½·3·4 = 6. Khi đó R = 3·4·5/(4·6) = 60/24 = 2,5. Kết quả này khớp với tính chất: trong tam giác vuông, R bằng nửa cạnh huyền, tức 5/2 = 2,5.
Bài tập luyện tập
- Tam giác đều cạnh a có R = a/√3. Dùng S = abc/(4R) để tính S.
Đáp án: S = a³/(4·a/√3) = a²√3/4. - Tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15. Tính R.
Gợi ý: p = 21, S = √(21·8·7·6) = 84.
Đáp án: R = 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 65/8 = 8,125. - Chứng minh S = 2R²·sinA·sinB·sinC.
Đáp án: Từ S = ½·ab·sinC với a = 2R sinA, b = 2R sinB, ta có S = ½·4R²·sinA·sinB·sinC = 2R²·sinA·sinB·sinC.
Câu hỏi thường gặp
Công thức (1) trong đề bài là công thức nào?
Đó là công thức diện tích tam giác theo hai cạnh và góc xen giữa: S = ½·ab·sinC. Tương tự S = ½·bc·sinA và S = ½·ca·sinB.
Trong S = abc/(4R), R là gì?
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đừng nhầm với r, bán kính đường tròn nội tiếp dùng trong công thức S = pr.
Có thể dùng công thức này để tính bán kính ngoại tiếp không?
Có. Từ S = abc/(4R) suy ra R = abc/(4S). Chỉ cần biết ba cạnh, tính S bằng công thức Heron rồi thay vào.
Công thức S = abc/(4R) có đúng với mọi tam giác không?
Có, đúng với mọi tam giác, vì định lý sin và công thức S = ½·ab·sinC đều đúng cho mọi tam giác, kể cả tam giác vuông và tù.