Trả lời nhanh
Để tính |AB + AC|, ta dựng hình bình hành ABDC (hoặc gọi M là trung điểm BC). Khi đó AB + AC = AD = 2AM, nên |AB + AC| = AD = 2AM. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì AM = BC/2, suy ra |AB + AC| = BC. Chẳng hạn AB = 3, AC = 4 thì độ dài bằng 5.
Lưu ý: bài viết hướng dẫn phương pháp cho dạng “tính độ dài vectơ tổng AB + AC” ở phần Thực hành 2 (trang 89, bài Tổng và hiệu của hai vectơ). Các số liệu trong ví dụ dưới đây là ví dụ do chúng tôi tự đặt, em thay số của đề vào đúng các bước là ra kết quả.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc hình bình hành: nếu ABDC là hình bình hành thì AB + AC = AD.
- Tính chất trung điểm: M là trung điểm của BC thì AB + AC = 2AM.
- Độ dài vectơ AD chính là độ dài đoạn thẳng AD, nên |AB + AC| = AD = 2AM.
Hai cách viết này thật ra là một: hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên trung điểm M của BC cũng là trung điểm của AD.
Các bước giải
- Dựng điểm D sao cho ABDC là hình bình hành (hoặc xác định trung điểm M của BC).
- Viết AB + AC = AD (hoặc 2AM).
- Tính độ dài đoạn AD (hoặc AM) bằng Pythagore, hệ thức trung tuyến hoặc tính chất của hình.
- Kết luận |AB + AC| = AD (hoặc 2AM).
Ví dụ 1: tam giác vuông tại A
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Tính |AB + AC|.
Giải. Dựng D sao cho ABDC là hình bình hành. Vì góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau: AD = BC.
Theo Pythagore: BC = √(3² + 4²) = 5. Vậy |AB + AC| = AD = BC = 5.
Ví dụ 2: tam giác đều
Cho tam giác ABC đều cạnh 2. Tính |AB + AC|.
Giải. Gọi M là trung điểm BC thì AB + AC = 2AM. Trong tam giác đều, trung tuyến AM cũng là đường cao: AM = 2·√3/2 = √3. Vậy |AB + AC| = 2√3.
Ví dụ 3: tam giác bất kì (biết ba cạnh)
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 7, BC = 8. Tính |AB + AC|.
Giải. Gọi M là trung điểm BC. Theo công thức đường trung tuyến: AM² = (2AB² + 2AC² − BC²)/4 = (50 + 98 − 64)/4 = 21, nên AM = √21.
Vậy |AB + AC| = 2AM = 2√21 (khoảng 9,17).
Từ đây có công thức gọn: |AB + AC|² = 2AB² + 2AC² − BC².
Lỗi sai thường gặp
- Cộng độ dài: viết |AB + AC| = AB + AC. Điều này chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng (A nằm ngoài đoạn BC thì không xảy ra với hai vectơ chung gốc A, trừ khi suy biến), còn nói chung |AB + AC| ≤ AB + AC.
- Nhầm với hiệu: AB − AC = CB, có độ dài là BC. Còn AB + AC = AD là đường chéo kia của hình bình hành.
- Quên nhân 2: AB + AC = 2AM, không phải AM.
- Dùng quy tắc ba điểm sai: quy tắc ba điểm AB + BC = AC cần đầu vectơ trước trùng cuối vectơ sau. Với AB + AC (cùng gốc A) phải dùng quy tắc hình bình hành.
Mẹo nhớ
Hai vectơ chung gốc → “vẽ hình bình hành, lấy đường chéo xuất phát từ gốc”. Hai vectơ nối đuôi → quy tắc ba điểm. Thấy tam giác vuông ở đỉnh chung thì đường chéo bằng cạnh huyền, đỡ phải tính thêm.
Bài luyện tập
- Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8. Tính |AB + AC|.
- Hình vuông ABCD cạnh a. Tính |AB + AD|.
- Tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BC = 6. Tính |AB + AC|.
Đáp án.
- BC = √(36 + 64) = 10, nên |AB + AC| = BC = 10.
- AB + AD = AC (quy tắc hình bình hành), nên độ dài bằng đường chéo AC = a√2.
- |AB + AC|² = 2·16 + 2·36 − 36 = 32 + 72 − 36 = 68, nên |AB + AC| = √68 = 2√17.
Câu hỏi thường gặp
|AB + AC| có bằng AB + AC không?
Không. AB + AC là độ dài hai cạnh cộng lại, còn |AB + AC| là độ dài đường chéo AD của hình bình hành ABDC, luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng hai cạnh.
Khi nào |AB + AC| = BC?
Khi tam giác ABC vuông tại A, vì ABDC là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BC bằng nhau.
Có công thức tính nhanh |AB + AC| khi biết ba cạnh không?
Có: |AB + AC|² = 2AB² + 2AC² − BC², suy ra từ công thức đường trung tuyến vì |AB + AC| = 2AM.
AB + AC khác AB − AC như thế nào?
AB + AC = AD là đường chéo qua A của hình bình hành ABDC, còn AB − AC = CB, có độ dài bằng cạnh BC.