Trả lời nhanh
Phương trình tan x = 0 có họ nghiệm x = kπ (k ∈ Z), tức x = 0, ±π, ±2π, … (hay x = k·180° nếu tính theo độ). Lý do: tan x = sin x / cos x bằng 0 khi sin x = 0 và cos x ≠ 0, mà khi sin x = 0 thì cos x = ±1 nên điều kiện luôn thoả.
Cách giải chi tiết tanx = 0
Bước 1 – Điều kiện xác định. tan x chỉ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + mπ (m ∈ Z).
Bước 2 – Đưa về sin và cos. tan x = sin x / cos x. Một phân số bằng 0 khi tử bằng 0 còn mẫu khác 0, nên ta cần sin x = 0.
Bước 3 – Giải sin x = 0. Trên đường tròn lượng giác, sin x là tung độ của điểm biểu diễn góc x. Tung độ bằng 0 khi điểm nằm trên trục hoành, tức tại hai điểm (1; 0) và (−1; 0). Hai điểm này ứng với x = 0 và x = π, cứ cách nhau π lại lặp lại. Vậy x = kπ.
Bước 4 – Đối chiếu điều kiện. Với x = kπ thì cos x = cos kπ = (−1)k ≠ 0, nên mọi giá trị đều thoả mãn.
Kết luận: tập nghiệm S = { kπ | k ∈ Z }.
Nhìn nghiệm trên đồ thị y = tan x
Nghiệm của phương trình tan x = 0 chính là hoành độ giao điểm của đồ thị y = tan x với trục hoành Ox. Hàm tan có chu kì π, trong mỗi khoảng (−π/2 + kπ; π/2 + kπ) đồ thị đi lên và cắt trục Ox đúng một lần, ngay tại điểm kπ.
Vì sao chu kì chỉ là π mà không phải 2π?
Nhiều bạn quen với sin x = 0 ⇒ x = kπ nên không thấy lạ, nhưng với tan thì dễ nhầm. Hàm tan có chu kì tuần hoàn π nên các nghiệm cách nhau đúng π: 0, π, 2π, … Hai điểm 0 và π trên đường tròn lượng giác đều cho tan bằng 0, vì vậy ta gộp thành một họ x = kπ thay vì viết hai họ x = k2π và x = π + k2π.
Mẹo nhớ: các phương trình tan x = 0, sin x = 0 đều có nghiệm x = kπ; còn cos x = 0 và cot x = 0 đều có nghiệm x = π/2 + kπ.
Công thức tổng quát tan x = a
Với mọi số thực a, phương trình tan x = a luôn có nghiệm x = arctan a + kπ (k ∈ Z). Với a = 0 thì arctan 0 = 0, ta thu lại x = kπ. Đây là trường hợp đặc biệt nên học thuộc, không cần dùng máy tính.
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| tan x = 0 | x = kπ |
| tan x = 1 | x = π/4 + kπ |
| tan x = −1 | x = −π/4 + kπ |
| tan x = √3 | x = π/3 + kπ |
Lỗi sai thường gặp
- Viết x = k2π: chỉ lấy được các nghiệm 0, 2π, … mà mất nghiệm π, 3π, …
- Viết x = π/2 + kπ: đây là các điểm tan không xác định, không phải nghiệm.
- Quên “k ∈ Z” hoặc chỉ cho k nguyên dương, làm mất nghiệm âm.
- Trộn đơn vị: viết x = k·180° rồi lại viết kπ trong cùng một bài.
Ví dụ tìm nghiệm trong một khoảng
Ví dụ. Tìm nghiệm của tan x = 0 thuộc đoạn [−2π; 2π].
Ta có −2π ≤ kπ ≤ 2π ⇔ −2 ≤ k ≤ 2, k ∈ Z nên k ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}. Các nghiệm là −2π, −π, 0, π, 2π; tổng cộng 5 nghiệm.
Bài luyện tập có đáp án
- Giải phương trình tan 2x = 0.
Đáp án: 2x = kπ ⇒ x = kπ/2 (k ∈ Z). Kiểm tra: cos 2x = cos kπ ≠ 0 nên thoả. - Giải phương trình tan(x − π/4) = 0.
Đáp án: x − π/4 = kπ ⇒ x = π/4 + kπ (k ∈ Z). - Tìm nghiệm của tan x = 0 thuộc khoảng (0; 3π).
Đáp án: 0 < kπ < 3π ⇒ 0 < k < 3 ⇒ k ∈ {1; 2}, nghiệm x = π và x = 2π.
Tóm tắt
- tan x = 0 ⇔ sin x = 0 (và cos x ≠ 0, tự động đúng).
- Nghiệm: x = kπ, k ∈ Z.
- Với tan(u) = 0 thì u = kπ, rồi giải tìm x.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình tanx = 0 là gì?
Nghiệm là x = kπ với k ∈ Z (x = k·180° nếu dùng độ), gồm các giá trị 0, ±π, ±2π, …
tanx = 0 thì x bằng bao nhiêu độ?
x = k·180°, với k nguyên, ví dụ 0°, 180°, 360°, −180°.
Vì sao nghiệm của tanx = 0 không phải x = k2π?
Vì hàm tan có chu kì π nên tan π cũng bằng 0. Viết x = k2π sẽ làm mất các nghiệm π, 3π, −π, …
Giải tan 2x = 0 như thế nào?
Đặt 2x = kπ, suy ra x = kπ/2 (k ∈ Z). Với các giá trị này cos 2x = ±1 ≠ 0 nên đều thoả điều kiện xác định.