Hằng đẳng thức số 3: công thức, ví dụ, bài tập

Trả lời nhanh

Hằng đẳng thức số 3 là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b). Nói bằng lời: hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số nhân với tổng của chúng. Đẳng thức đúng với mọi số, mọi biểu thức a và b, dùng để phân tích đa thức thành nhân tử, tính nhanh và rút gọn phân thức.

Công thức hiệu hai bình phương

Trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, ba hằng đẳng thức đầu tiên thường được đánh số như sau:

Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Bình phương của một hiệu: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b)

Vậy khi đề bài nhắc “hằng đẳng thức số 3”, em hiểu ngay đó là a² − b².

Chứng minh bằng phép nhân đa thức

Em nhân vế phải theo quy tắc nhân đa thức với đa thức:

(a − b)(a + b) = a · a + a · b − b · a − b · b = a² + ab − ab − b² = a² − b².

Hai tích chéo ab và −ab triệt tiêu nhau, chỉ còn lại a² − b². Vì vậy đẳng thức luôn đúng.

Nhìn bằng hình học

Lấy hình vuông cạnh a, cắt đi một hình vuông nhỏ cạnh b ở góc, phần còn lại có diện tích a² − b². Cắt phần còn lại thành hai hình chữ nhật rồi xoay một mảnh ghép sang bên cạnh, ta được hình chữ nhật có hai cạnh là (a + b) và (a − b).

Hình minh họa hằng đẳng thức số 3: hiệu hai bình phương a² − b² ghép thành hình chữ nhật (a + b)(a − b) — Hình 1. Cắt phần còn lại của hình vuông cạnh a (đã bỏ hình vuông cạnh b) rồi ghép lại thành hình chữ nhật (a + b) × (a − b).

Ví dụ vận dụng

Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3).
4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y).
(x + 1)² − 16 = (x + 1)² − 4² = (x + 1 − 4)(x + 1 + 4) = (x − 3)(x + 5).
x⁴ − 81 = (x²)² − 9² = (x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9). Nhân tử x² + 9 không phân tích tiếp được trên tập số thực.

Dạng 2. Tính nhanh

52² − 48² = (52 − 48)(52 + 48) = 4 · 100 = 400.
75² − 25² = (75 − 25)(75 + 25) = 50 · 100 = 5000.
2026² − 2025² = (2026 − 2025)(2026 + 2025) = 1 · 4051 = 4051. Hai số nguyên liên tiếp luôn cho hiệu bình phương bằng tổng của chúng.

Dạng 3. Rút gọn phân thức

(x² − 4)/(x + 2) = (x − 2)(x + 2)/(x + 2) = x − 2, với x ≠ −2.

Dạng 4. Giải phương trình

x² − 49 = 0 ⇔ (x − 7)(x + 7) = 0 ⇔ x = 7 hoặc x = −7.

Mẹo nhận dạng và ghi nhớ

Dấu hiệu: có đúng hai hạng tử, ngăn cách bởi dấu trừ, và cả hai đều là bình phương (hoặc đưa được về bình phương).
Cách nhớ ngắn gọn: “hiệu hai bình phương bằng hiệu nhân tổng”.
Số chính phương cần thuộc: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm a² − b² với (a − b)². Hai biểu thức này khác nhau: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Áp dụng cho tổng hai bình phương a² + b². Biểu thức này không phân tích được bằng hằng đẳng thức số 3.
Quên đưa hệ số vào bình phương: 4x² phải viết là (2x)², không phải 2x².
Viết sai dấu ở nhân tử thứ hai khi a hoặc b là biểu thức có nhiều hạng tử, nên đặt trong ngoặc trước khi trừ.

Bài luyện tập có đáp án

Phân tích 9x² − 16 thành nhân tử.
Đáp án: (3x − 4)(3x + 4).
Tính nhanh 1002 · 998.
Đáp án: (1000 + 2)(1000 − 2) = 1000² − 2² = 1 000 000 − 4 = 999 996.
Tìm x, biết (x − 2)² − 9 = 0.
Đáp án: (x − 2 − 3)(x − 2 + 3) = 0 ⇔ (x − 5)(x + 1) = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = −1.

Em làm xong ba bài trên mà không cần nhìn lại công thức nghĩa là đã nắm vững hằng đẳng thức số 3.

Câu hỏi thường gặp

Hằng đẳng thức số 3 là gì?

Đó là hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b). Đây là hằng đẳng thức thứ ba trong nhóm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của Toán lớp 8.

Hằng đẳng thức số 3 dùng để làm gì?

Dùng để phân tích đa thức thành nhân tử, tính nhanh các hiệu bình phương, rút gọn phân thức và giải phương trình dạng tích.

a² + b² có phân tích bằng hằng đẳng thức số 3 được không?

Không. Hằng đẳng thức này chỉ áp dụng cho hiệu hai bình phương. Tổng hai bình phương không phân tích được thành nhân tử trong tập số thực.

Làm sao nhận ra đa thức cần dùng hằng đẳng thức số 3?

Khi đa thức có hai hạng tử nối bằng dấu trừ và mỗi hạng tử đều là một bình phương hoặc đưa được về bình phương, như 4x² − 25.