Trả lời nhanh
Với N là trung điểm BC, M là trung điểm AB, các đẳng thức đúng gồm: →AN = ½(→AB + →AC); →CM = ½→AB − →AC; →AB = (4/3)→AN + (2/3)→CM; →AC = (2/3)→AN − (2/3)→CM. Bạn hãy đối chiếu từng phương án của đề với các hệ thức này. Đề gốc có thể xuất hiện dưới nhiều dạng phương án khác nhau.
Lưu ý: ở đây ta dùng kí hiệu →AB để chỉ vectơ AB. Vì phương án của đề không được nêu đầy đủ, bài viết hướng dẫn cách tự tìm và kiểm tra đẳng thức đúng cho mọi dạng đề tương tự, thay vì đoán một chữ cái.
Hình vẽ và cách đặt vectơ cơ sở
Trong tam giác ABC, AN là trung tuyến kẻ từ A (N là trung điểm BC), CM là trung tuyến kẻ từ C (M là trung điểm AB). Hai trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm G.
Cách làm chuẩn: chọn hai vectơ không cùng phương làm cơ sở, ví dụ a = →AB và b = →AC. Sau đó biểu diễn mọi vectơ khác qua a, b.
Biểu diễn →AN và →CM theo a, b
- N là trung điểm BC nên →AN = ½(→AB + →AC) = ½(a + b).
- M là trung điểm AB nên →AM = ½a. Do đó →CM = →CA + →AM = −b + ½a = ½a − b.
- →BC = →AC − →AB = b − a.
Biểu diễn →AB, →AC, →BC theo →AN và →CM
Từ hai hệ thức trên ta có hệ:
- a + b = 2→AN
- a − 2b = 2→CM
Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai: 3b = 2→AN − 2→CM, suy ra
→AC = (2/3)→AN − (2/3)→CM.
Thay vào a = 2→AN − b ta được
→AB = (4/3)→AN + (2/3)→CM.
Từ →BC = b − a suy ra
→BC = −(2/3)→AN − (4/3)→CM, hay →CB = (2/3)→AN + (4/3)→CM.
Bảng các hệ thức hay gặp
| Hệ thức | Đúng/Sai |
|---|---|
| →AN = ½(→AB + →AC) | Đúng |
| →AG = ⅔→AN và →CG = ⅔→CM | Đúng (tính chất trọng tâm) |
| →GA + →GB + →GC = →0 | Đúng |
| →AB = (4/3)→AN + (2/3)→CM | Đúng |
| →AC = (2/3)→AN − (2/3)→CM | Đúng |
| →AN = ½→AB + →AC | Sai (thiếu hệ số ½ ở →AC) |
| →AN + →CM = →0 | Sai (hai trung tuyến không đối nhau) |
Mẹo kiểm tra nhanh bằng tọa độ
Khi một phương án trông “có vẻ đúng”, hãy thử với tam giác cụ thể. Chọn A(0; 0), B(6; 0), C(0; 6). Khi đó N(3; 3), M(3; 0), nên →AN = (3; 3) và →CM = (3; −6).
- (4/3)→AN + (2/3)→CM = (4; 4) + (2; −4) = (6; 0) = →AB ✓.
- (2/3)→AN − (2/3)→CM = (2; 2) − (2; −4) = (0; 6) = →AC ✓.
- −(2/3)→AN − (4/3)→CM = (−2; −2) + (−4; 8) = (−6; 6) = →BC ✓.
Chỉ cần một tam giác cho kết quả lệch là phương án đó chắc chắn sai. Ngược lại, hệ thức đúng với một tam giác chưa chắc đúng chung, nên cần kết hợp với chứng minh bằng vectơ.
Lỗi sai thường gặp
- Viết →CM = →AM − →AC rồi nhầm dấu. Hãy nhớ quy tắc: →CM = →CA + →AM (gốc C, ngọc M).
- Quên hệ số ½ khi dùng trung điểm.
- Nhầm →AG = ⅔→AN với →AG = ⅓→AN. Trọng tâm nằm gần cạnh hơn đỉnh: AG = 2GN.
- Nhầm hướng vectơ, ví dụ viết →CB thay cho →BC nên sai dấu.
Bài luyện tập
- Chứng minh →AN + →CM = a − ½b, với a = →AB, b = →AC. Kiểm tra lại bằng số với tam giác ở trên: →AN + →CM = (6; −3), còn a − ½b = (6; 0) − (0; 3) = (6; −3) ✓.
- Biểu diễn →BG theo a, b. Đáp án: →BG = →AG − →AB = (a + b)/3 − a = (b − 2a)/3.
- Với G là trọng tâm, chứng minh →GA + →GB + →GC = →0. Gợi ý: dùng →GB + →GC = 2→GN và →GA = −2→GN.
Câu hỏi thường gặp
Hai trung tuyến AN và CM cắt nhau tại điểm nào?
Chúng cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác ABC. Tại đó AG = ⅔AN và CG = ⅔CM, tức G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 tính từ đỉnh.
Làm sao biểu diễn →AB theo →AN và →CM?
Đặt a = →AB, b = →AC, ta có a + b = 2→AN và a − 2b = 2→CM. Giải hệ được →AB = (4/3)→AN + (2/3)→CM.
Cách nhanh nhất để loại đáp án sai là gì?
Chọn một tam giác có tọa độ đẹp, ví dụ A(0;0), B(6;0), C(0;6), tính các vectơ rồi thay vào từng phương án. Phương án nào cho kết quả lệch thì loại ngay.