Cho hình thoi ABCD có AC = 8, BD = 6: tính tích vô hướng AB·AC
Lớp 10Toán

Cho hình thoi ABCD có AC = 8, BD = 6: tính tích vô hướng AB·AC

Trả lời nhanh

Tích vô hướng AB·AC = 32 (viết vectơ: AB→ · AC→ = 32). Gọi O là tâm hình thoi thì AO = 4, BO = 3, nên AB = 5 và cos∠BAC = AO/AB = 4/5. Do đó AB→·AC→ = 5 · 8 · 4/5 = 32.

Đề bài và hướng suy nghĩ

Đề bài: cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính tích vô hướng của hai vectơ AB→ và AC→.

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Từ đó ta tính được cạnh hình thoi, rồi dùng công thức tích vô hướng. Hình dưới đây cho bạn thấy các độ dài cần dùng.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 8, BD = 6 cắt nhau vuông góc tại O
Hình thoi ABCD: AO = 4, BO = 3, AC vuông góc BD tại O nên AB = 5.

Cách 1: Dùng định nghĩa tích vô hướng

  1. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Khi đó O là trung điểm của AC và BD, AC ⊥ BD. Suy ra AO = 8/2 = 4, BO = 6/2 = 3.
  2. Tam giác AOB vuông tại O nên AB² = AO² + BO² = 16 + 9 = 25, vậy AB = 5.
  3. Trong tam giác vuông AOB: cos∠BAO = AO/AB = 4/5. Vì O nằm trên AC (cùng phía với C so với A) nên góc giữa AB→ và AC→ chính là ∠BAO.
  4. AB→·AC→ = |AB|·|AC|·cos∠BAC = 5 · 8 · 4/5 = 32.

Cách 2: Phân tích vectơ (nhanh, ít tính toán)

Ta tách AB→ = AO→ + OB→. Khi đó:

AB→·AC→ = AO→·AC→ + OB→·AC→.

  • OB→ ⊥ AC→ nên OB→·AC→ = 0.
  • AO→ cùng hướng với AC→ nên AO→·AC→ = AO · AC = 4 · 8 = 32.

Vậy AB→·AC→ = 32. Cách này không cần tính cạnh AB, và cho thấy bản chất: tích vô hướng bằng độ dài AC nhân với độ dài hình chiếu của AB lên AC. Hình chiếu của B lên AC chính là O nên chỉ cần AO.

Cách 3: Dùng toạ độ

Chọn hệ trục Oxy với O là gốc, AC nằm trên trục Ox, BD nằm trên trục Oy:

  • A(−4; 0), C(4; 0), B(0; −3), D(0; 3).
  • AB→ = (0 − (−4); −3 − 0) = (4; −3).
  • AC→ = (4 − (−4); 0) = (8; 0).

AB→·AC→ = 4 · 8 + (−3) · 0 = 32. Cả ba cách cho cùng kết quả nên ta yên tâm.

Lỗi sai thường gặp

  • Lấy AC = 8 làm nửa đường chéo. AC = 8 là cả đường chéo, nửa đường chéo AO mới bằng 4.
  • Nhầm góc. Góc giữa AB→ và AC→ là ∠BAC (khoảng 36,9°), không phải ∠ABC hay ∠BAD. Lưu ý ∠BAC chỉ bằng một nửa ∠BAD.
  • Quên cos. Có bạn tính 5 · 8 = 40 rồi dừng lại. Tích vô hướng là một số, nhưng phải nhân thêm cos góc.
  • Nhầm chiều vectơ. AB→·CA→ = −32 vì CA→ ngược hướng với AC→. Luôn kiểm tra điểm đầu của hai vectơ.

Mẹo nhớ: với hình thoi, muốn tính tích vô hướng có một vectơ nằm trên đường chéo, hãy chiếu vectơ còn lại xuống đường chéo đó. Đường chéo kia vuông góc nên bị “triệt tiêu”.

Bài luyện tập (cùng hình thoi trên)

  1. Tính AD→·AC→.
  2. Tính BA→·BC→.
  3. Tính AB→·BD→.

Đáp án

  1. AD→·AC→ = AO · AC = 4 · 8 = 32 (hình thoi đối xứng qua AC nên kết quả giống AB→·AC→).
  2. Với toạ độ ở Cách 3: BA→ = (−4; 3), BC→ = (4; 3), nên BA→·BC→ = −16 + 9 = −7.
  3. AB→ = (4; −3), BD→ = (0; 6), nên AB→·BD→ = 0 − 18 = −18. Dấu âm vì góc giữa hai vectơ là góc tù.

Câu hỏi thường gặp

Cho hình thoi ABCD có AC = 8, BD = 6 thì cạnh hình thoi bằng bao nhiêu?

Cạnh bằng 5. Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm O nên AB² = AO² + BO² = 4² + 3² = 25, suy ra AB = 5.

Tích vô hướng AB·AC bằng bao nhiêu?

Bằng 32. Có thể tính bằng định nghĩa: 5 · 8 · cos∠BAC với cos∠BAC = 4/5, hoặc bằng toạ độ: (4; −3)·(8; 0) = 32.

Vì sao không cần dùng đường chéo BD khi tính theo cách phân tích vectơ?

BD vuông góc với AC nên thành phần OB→ của AB→ có tích vô hướng với AC→ bằng 0. Chỉ còn phần AO→ cùng phương với AC→ đóng góp vào kết quả.

Nếu đề hỏi AB→·CA→ thì kết quả là gì?

Là −32, vì CA→ là vectơ đối của AC→ nên tích vô hướng đổi dấu.

Bài học liên quan