Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

Hàm số tuần hoàn và chu kì là gì?

Hàm số y = f(x) xác định trên tập D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x thuộc D thì x + T và x − T cũng thuộc D, đồng thời f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện đó gọi là chu kì (chu kì cơ sở) của hàm số. Vì vậy, “chu kì bằng bao nhiêu” luôn hiểu là số dương nhỏ nhất, không phải mọi số T thoả mãn.

Vì sao chu kì của y = sin x là 2π?

Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn góc x và góc x + 2π trùng nhau (quay đúng một vòng), nên tung độ của chúng bằng nhau: sin(x + 2π) = sin x. Do đó 2π là một chu kì.

Để khẳng định 2π là nhỏ nhất, ta chứng minh bằng phản chứng:

1. Giả sử có T với 0 < T < 2π sao cho sin(x + T) = sin x với mọi x.
2. Thay x = π/2: sin(π/2 + T) = sin(π/2) = 1, mà sin(π/2 + T) = cos T. Suy ra cos T = 1.
3. cos T = 1 chỉ khi T = k·2π (k nguyên). Không có giá trị nào như vậy trong khoảng (0; 2π) — mâu thuẫn.

Vậy chu kì nhỏ nhất của y = sin x là T = 2π.

Nhìn đồ thị: đoạn từ 0 đến 2π có một “nhịp” gồm một đỉnh (giá trị 1) và một đáy (giá trị −1). Dịch đoạn này sang trái hoặc phải 2π, 4π, … ta được toàn bộ đồ thị.

Bảng chu kì các hàm số lượng giác cơ bản

Hàm số	Chu kì nhỏ nhất
y = sin x	2π
y = cos x	2π
y = tan x	π
y = cot x	π

Mẹo nhớ: sin và cos “đi” đủ một vòng tròn mới lặp lại nên là 2π; tan và cot là tỉ số nên chỉ cần nửa vòng (π) đã lặp lại.

Mở rộng: chu kì của y = a·sin(bx + c) + d

Với b ≠ 0, hàm số y = a·sin(bx + c) + d (a ≠ 0) tuần hoàn với chu kì T = 2π/|b|. Các hệ số a, c, d chỉ làm đổi biên độ và tịnh tiến đồ thị, không đổi chu kì.

Ví dụ (tự đặt):

• y = sin 2x có T = 2π/2 = π.
• y = sin(x/3) có T = 2π : (1/3) = 6π.
• y = 2 sin(3x + 1) − 5 có T = 2π/3.

Với tổng của hai hàm tuần hoàn có chu kì T₁, T₂, một chu kì chung là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂ (khi tồn tại). Ví dụ y = sin 2x + sin 3x có T₁ = π, T₂ = 2π/3, bội chung nhỏ nhất là 2π (vì 2π = 2·π = 3·2π/3).

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm chu kì của sin x với của tan x (chọn π). Hãy nhớ sin(x + π) = −sin x ≠ sin x.
• Chọn 4π vì “cũng thoả mãn”. Đúng là 4π là một chu kì, nhưng không phải nhỏ nhất.
• Quên chia cho |b|: y = sin 2x không phải có chu kì 2π.
• Với y = sin²x, tưởng chu kì là 2π. Thực ra sin²x = (1 − cos 2x)/2 nên T = π.

Bài luyện tập

1. Tìm chu kì của y = sin(x/2).
2. Tìm chu kì của y = 3 sin(πx) + 1.
3. Tìm chu kì của y = sin²x.

Đáp án:

1. T = 2π : (1/2) = 4π.
2. T = 2π/π = 2.
3. Vì sin²x = (1 − cos 2x)/2 nên T = 2π/2 = π.

Tóm tắt

Chu kì của hàm số y = sin x là 2π. Với y = a·sin(bx + c) + d thì chu kì là 2π/|b|. Hãy luôn kiểm tra xem số cần tìm có phải là số dương nhỏ nhất hay không.

Câu hỏi thường gặp

Chu kì của hàm số y = sin x là bao nhiêu?

Chu kì nhỏ nhất của y = sin x là T = 2π, vì sin(x + 2π) = sin x với mọi x và không có số dương nào nhỏ hơn 2π có tính chất đó.

Hàm số y = sin 2x có chu kì bao nhiêu?

Áp dụng T = 2π/|b| với b = 2, ta được T = π.

4π có phải chu kì của y = sin x không?

4π là một chu kì vì sin(x + 4π) = sin x, nhưng không phải chu kì nhỏ nhất. Khi hỏi chu kì của hàm số, đáp án là số dương nhỏ nhất, tức 2π.

Chu kì của y = tan x khác y = sin x như thế nào?

y = tan x có chu kì π, còn y = sin x có chu kì 2π. Lý do là tan(x + π) = tan x nhưng sin(x + π) = −sin x.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Tính đạo hàm của hàm số y = log x: công thức và ví dụ
• Kiểm tra sản phẩm của một nhà máy, trung bình cứ 100 sản phẩm có phế phẩm: cách giải
• Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định: cách làm và ví dụ
• Tập xác định của hàm số y = tan x + cos x: cách giải và lỗi sai
• Tập xác định của hàm số y = sinx là gì? Cách chọn khẳng định sai