Suy ra công thức cos a cos b từ công thức cộng

Trả lời nhanh

Cộng (hoặc trừ) từng vế hai công thức cộng cùng loại sẽ triệt tiêu một số hạng. Ví dụ cos(a−b) + cos(a+b) = 2cos a cos b, nên cos a cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)]. Làm tương tự với sin a sin b và sin a cos b. Đặt u = a+b, v = a−b ta được công thức tổng thành tích; cho b = a ta được công thức nhân đôi, hạ bậc.

Câu hỏi “từ các công thức cộng hãy suy ra các công thức trên” xuất hiện khi học bài công thức lượng giác. Điều thầy muốn các em nhận ra: chỉ cần thuộc 4 công thức cộng là đủ, các công thức còn lại đều tự dẫn ra được, không cần học vẹt.

1. Bốn công thức cộng làm xuất phát điểm

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b (1)
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b (2)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3)
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b (4)

Mẹo nhớ: cos thì “cos cos” và dấu ngược với dấu ở vế trái; sin thì “sin cos” và dấu giữ nguyên.

2. Công thức biến đổi tích thành tổng

a) cos a cos b

Cộng (1) với (2): cos(a − b) + cos(a + b) = 2cos a cos b. Suy ra:

cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]

b) sin a sin b

Lấy (1) trừ (2): cos(a − b) − cos(a + b) = 2sin a sin b. Suy ra:

sin a sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]

c) sin a cos b

Cộng (3) với (4): sin(a + b) + sin(a − b) = 2sin a cos b. Suy ra:

sin a cos b = ½[sin(a + b) + sin(a − b)]

Lưu ý: ở công thức sin a sin b, vế phải là “cos(a − b) trừ cos(a + b)” – thứ tự trừ này hay bị đảo, dẫn đến sai dấu.

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

Đặt u = a + b và v = a − b, khi đó a = (u + v)/2 và b = (u − v)/2. Thay vào ba công thức ở trên (đổi vế):

cos u + cos v = 2cos((u+v)/2) · cos((u−v)/2)
cos u − cos v = −2sin((u+v)/2) · sin((u−v)/2)
sin u + sin v = 2sin((u+v)/2) · cos((u−v)/2)
sin u − sin v = 2cos((u+v)/2) · sin((u−v)/2)

Công thức cuối lấy từ (3) trừ (4): sin(a + b) − sin(a − b) = 2cos a sin b. Chú ý riêng cos u − cos v có dấu trừ ở phía trước.

4. Công thức nhân đôi và hạ bậc

Cho b = a trong các công thức cộng:

sin 2a = 2sin a cos a (từ (3))
cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a (từ (2), rồi dùng sin²a + cos²a = 1)

Từ cos 2a = 2cos²a − 1 và cos 2a = 1 − 2sin²a, rút ra công thức hạ bậc:

cos²a = (1 + cos 2a)/2
sin²a = (1 − cos 2a)/2

Cũng có thể thấy cos²a chính là trường hợp b = a của công thức cos a cos b: ½[cos 0 + cos 2a] = (1 + cos 2a)/2.

5. Bảng tóm tắt

Cần dùng	Lấy từ	Thao tác
cos a cos b	(1), (2)	Cộng vế
sin a sin b	(1), (2)	(1) trừ (2)
sin a cos b	(3), (4)	Cộng vế
Tổng thành tích	Ba công thức trên	Đặt u = a + b, v = a − b
Nhân đôi	(2), (3)	Cho b = a

6. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tính cos 75° · cos 15°.

cos 75° cos 15° = ½[cos 60° + cos 90°] = ½(½ + 0) = ¼. Kiểm tra: cos 75° = sin 15° nên tích = sin 15° cos 15° = ½ sin 30° = ¼ ✓.

Ví dụ 2. Tính sin 105° + sin 15°.

Áp dụng sin u + sin v với u = 105°, v = 15°: = 2sin 60° cos 45° = 2 · (√3/2) · (√2/2) = √6/2.

7. Lỗi sai thường gặp

Quên hệ số ½ ở công thức tích thành tổng (hoặc quên hệ số 2 ở tổng thành tích).
Nhầm dấu ở sin a sin b: phải là cos(a − b) − cos(a + b), không phải ngược lại.
Viết cos u − cos v = 2sin·sin mà thiếu dấu trừ.
Đổi sai góc: (u+v)/2 đi với (u−v)/2, hai góc này không được hoán đổi tuỳ tiện trong công thức có sin – cos.

8. Bài luyện tập

Tính sin 75° cos 15°.
Đáp án: ½[sin 90° + sin 60°] = ½(1 + √3/2) = (2 + √3)/4.
Rút gọn (sin x + sin 3x)/(cos x + cos 3x).
Đáp án: Tử = 2sin 2x cos x, mẫu = 2cos 2x cos x, nên biểu thức = tan 2x (với cos 2x cos x ≠ 0).
Chứng minh sin²a = (1 − cos 2a)/2 bằng công thức cos a cos b hoặc sin a sin b.
Gợi ý: sin a sin a = ½[cos 0 − cos 2a] = (1 − cos 2a)/2.

Câu hỏi thường gặp

Công thức cos a cos b bằng gì?

cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]. Công thức này có được bằng cách cộng hai công thức cos(a − b) và cos(a + b).

Làm sao suy ra công thức tổng thành tích từ tích thành tổng?

Đặt u = a + b, v = a − b, suy ra a = (u + v)/2, b = (u − v)/2 rồi thay vào các công thức tích thành tổng và đổi vế.

Công thức hạ bậc suy ra từ đâu?

Từ công thức nhân đôi cos 2a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a. Giải ra cos²a = (1 + cos 2a)/2 và sin²a = (1 − cos 2a)/2.

Nên học thuộc những công thức nào?

Thuộc chắc 4 công thức cộng và sin²a + cos²a = 1; các công thức còn lại có thể tự suy ra trong vài dòng khi cần.