Tính A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^2022: cách giải và đáp số

Với A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22022, ta nhân hai vế với 2 được 2A = 2 + 22 + ... + 22022 + 22022+1. Lấy 2A − A thì các số hạng ở giữa triệt tiêu hết, còn lại A = 22022+1 − 1, tức là lũy thừa của 2 với số mũ lớn hơn 2022 một đơn vị, rồi trừ đi 1.

Tính 1+2+2^2+2^3+...+2^2022 – cách giải nhanh

Trả lời nhanh

Với A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²², ta nhân hai vế với 2 được 2A = 2 + 2² + … + 2²⁰²² + 2²⁰²²⁺¹. Lấy 2A − A thì các số hạng ở giữa triệt tiêu hết, còn lại A = 2²⁰²²⁺¹ − 1, tức là lũy thừa của 2 với số mũ lớn hơn 2022 một đơn vị, rồi trừ đi 1.

Đề bài và cách hiểu đề

Đề yêu cầu tính tổng các lũy thừa liên tiếp của 2, bắt đầu từ 1 = 2⁰ và kết thúc ở 2²⁰²²:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²²

Lưu ý: tổng này có 2022 + 1 số hạng, vì số mũ chạy từ 0 đến 2022. Mỗi số hạng gấp đúng 2 lần số hạng đứng trước nó, đó là chìa khoá của cách giải.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Viết tổng A:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²² (1)

Bước 2. Nhân cả hai vế với 2. Mỗi số hạng được nhân thêm một thừa số 2 nên số mũ tăng thêm 1:

2A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰²² + 2²⁰²²⁺¹ (2)

Bước 3. Lấy (2) trừ (1), vế trái là 2A − A = A. Ở vế phải, các số hạng 2, 2², …, 2²⁰²² xuất hiện ở cả hai tổng nên triệt tiêu. Chỉ còn số hạng cuối của (2) và số hạng đầu của (1):

A = 2²⁰²²⁺¹ − 1

Đáp số: A = 2²⁰²²⁺¹ − 1.

Vì sao cách này đúng? Kiểm tra bằng số nhỏ

Hãy thử với tổng ngắn hơn: 1 + 2 + 2² + 2³ = 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Theo quy tắc, số hạng cuối là 2³ nên kết quả là 2³⁺¹ − 1 = 16 − 1 = 15. Khớp.

Một cách nhìn khác: A + 1 = 2²⁰²²⁺¹. Ví dụ 15 + 1 = 16 = 2⁴. Hiểu theo kiểu “cộng thêm 1 thì gộp dần”: 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 4 + 4 = 8, … cứ thế đến lũy thừa cuối.

Công thức tổng quát cần nhớ

Dạng tổng	Kết quả	Nhân hai vế với
1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ	2ⁿ⁺¹ − 1	2
1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ	(3ⁿ⁺¹ − 1) : 2	3
1 + a + a² + … + aⁿ (a > 1)	(aⁿ⁺¹ − 1) : (a − 1)	a

Mẹo nhớ: nhân với đúng cơ số của lũy thừa, rồi lấy “tổng nhân” trừ “tổng gốc”. Phần còn lại luôn là “số hạng mới ở cuối trừ số hạng đầu”.

Lỗi sai thường gặp

Đếm sai số mũ cuối: viết kết quả là 2²⁰²² − 1. Đúng phải là 2²⁰²²⁺¹ − 1, vì sau khi nhân 2 số mũ cuối tăng thêm 1.
Quên số hạng đầu 1: khi trừ, số hạng đầu của A là 1 phải được trừ đi, nên kết quả có “− 1”.
Nhầm với tổng bắt đầu từ 2: nếu tổng là 2 + 2² + … + 2²⁰²² (không có số 1) thì kết quả là 2²⁰²²⁺¹ − 2.
Cố tính ra số cụ thể: 2²⁰²²⁺¹ là số rất lớn, bài chỉ yêu cầu viết dưới dạng lũy thừa.

Bài luyện tập có đáp án

Tính B = 1 + 2 + 2² + … + 2¹⁰.
Đáp án: B = 2¹¹ − 1 = 2048 − 1 = 2047.
Tính C = 1 + 3 + 3² + … + 3¹⁰⁰.
Gợi ý và đáp án: 3C − C = 3¹⁰¹ − 1 nên 2C = 3¹⁰¹ − 1, suy ra C = (3¹⁰¹ − 1) : 2.
Tính D = 5 + 5² + … + 5⁵⁰.
Gợi ý và đáp án: 5D − D = 5⁵¹ − 5 nên D = (5⁵¹ − 5) : 4.

Tóm tắt

Gặp tổng các lũy thừa liên tiếp cùng cơ số, hãy nhân hai vế với cơ số rồi trừ vế theo vế. Với A = 1 + 2 + 2² + … + 2²⁰²², đáp số là A = 2²⁰²²⁺¹ − 1.

Câu hỏi thường gặp

Tổng 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n bằng bao nhiêu?

Bằng 2^(n+1) − 1. Ví dụ n = 3 thì 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2^4 − 1.

Vì sao phải nhân hai vế với 2?

Vì mỗi số hạng gấp 2 lần số hạng trước, nên khi nhân với 2 các số hạng của 2A trùng với A (trừ số cuối), trừ vế theo vế sẽ triệt tiêu gần hết.

Nếu tổng bắt đầu từ 2 thay vì 1 thì sao?

Tổng 2 + 2^2 + ... + 2^n bằng 2^(n+1) − 2, vì phần trừ là số hạng đầu tiên, tức là 2.

Với cơ số khác 2 thì làm thế nào?

Nhân hai vế với cơ số a rồi trừ: tổng 1 + a + ... + a^n = (a^(n+1) − 1) : (a − 1).