Trả lời nhanh
Theo quy tắc ba điểm, vectơ AB + vectơ BD = vectơ AD. Vì vậy |AB + BD| = AD = 5. Đề không cần đến AB = 8 để tính kết quả này; số 8 chỉ dùng khi đề hỏi các biến thể như |AB + AD| = BD = √89.
Lưu ý: đề gốc thường được hiểu là “Tính |AB→ + BD→|”. Phần cuối bài có lời giải cho các biến thể gần giống để bạn đối chiếu nếu đề của bạn hơi khác.
Lời giải chi tiết
Cách 1: Quy tắc ba điểm
Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, D bất kì, ta có AB→ + BD→ = AD→. Điểm cuối của vectơ thứ nhất (B) trùng điểm đầu của vectơ thứ hai nên cộng được ngay.
Do đó |AB→ + BD→| = |AD→| = AD = 5.
Cách 2: Dùng toạ độ
Đặt A(0; 0), B(8; 0), D(0; 5), C(8; 5) vì ABCD là hình chữ nhật.
- AB→ = (8; 0)
- BD→ = (0 − 8; 5 − 0) = (−8; 5)
- AB→ + BD→ = (0; 5)
Độ dài: √(0² + 5²) = 5. Hai cách cho cùng kết quả.
Vì sao không phải √89?
Nhiều bạn thấy “AB = 8, AD = 5” liền áp dụng Pythagore ra BD = √(8² + 5²) = √89. Đó là độ dài đường chéo BD, không phải độ dài của tổng AB→ + BD→. Tổng này “đi từ A đến B rồi từ B đến D”, nên kết thúc tại D và bằng AD→.
Mẹo nhớ: nhìn chữ cái, “AB + BD” có chữ B ở giữa, nối lại thành “A…D”.
Các biến thể hay gặp (AB = 8, AD = 5)
| Biểu thức | Rút gọn | Kết quả |
|---|---|---|
| |AB→ + BD→| | |AD→| | 5 |
| |AB→ + AD→| | |AC→| (quy tắc hình bình hành) | √(64 + 25) = √89 |
| |AB→ − AD→| | |DB→| | √89 |
| |AB→ − BD→| | toạ độ (16; −5) | √(256 + 25) = √281 |
| |BC→ + BD→| | toạ độ (0; 5) + (−8; 5) = (−8; 10) | √164 = 2√41 |
Lỗi sai thường gặp
- Cộng độ dài thay vì cộng vectơ: |AB→ + BD→| ≠ AB + BD.
- Nhầm hiệu và tổng: AB→ − BD→ = AB→ + DB→, không phải AD→.
- Quên rằng hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD = √89.
Bài luyện tập
- Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 8. Tính |AB→ + BD→|.
Đáp án: AB→ + BD→ = AD→ nên kết quả là 8. - Với hình chữ nhật ở bài 1, tính |AB→ + AD→|.
Đáp án: bằng AC = √(36 + 64) = 10. - Với hình chữ nhật ở bài 1, tính |AB→ − BD→|.
Đáp án: chọn A(0; 0): AB→ = (6; 0), BD→ = (−6; 8), hiệu = (12; −8), độ dài √208 = 4√13.
Câu hỏi thường gặp
|AB + BD| trong hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5 bằng bao nhiêu?
Bằng 5. Theo quy tắc ba điểm AB→ + BD→ = AD→, nên độ dài là AD = 5.
Nếu đề hỏi |AB + AD| thì kết quả là gì?
Là độ dài đường chéo AC theo quy tắc hình bình hành: √(8² + 5²) = √89 ≈ 9,43.
Vì sao không dùng được AB = 8 để tính |AB + BD|?
Vì tổng AB→ + BD→ rút gọn thành AD→, chỉ phụ thuộc cạnh AD = 5. Cạnh AB bị “triệt tiêu” khi rút gọn.
Quy tắc ba điểm phát biểu thế nào?
Với ba điểm A, B, C bất kì, AB→ + BC→ = AC→. Điểm cuối của vectơ đầu trùng điểm đầu của vectơ sau.