Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trả lời nhanh

Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, em vẽ đường thẳng biên ax + by = c (nét liền nếu có dấu bằng, nét đứt nếu không), lấy một điểm thử không nằm trên đường thẳng rồi thay vào bất phương trình. Điểm thử thoả mãn thì tô nửa mặt phẳng chứa điểm đó, ngược lại tô nửa mặt phẳng còn lại.

Miền nghiệm là gì?

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng ax + by ≤ c (hoặc <, ≥, >), trong đó a, b không đồng thời bằng 0. Mỗi cặp số (x₀; y₀) làm bất phương trình đúng là một nghiệm. Tập hợp tất cả các điểm có toạ độ là nghiệm gọi là miền nghiệm.

Về mặt hình học, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng. Miền nghiệm luôn là một trong hai nửa mặt phẳng đó, có thể kèm hoặc không kèm đường biên.

Ba bước biểu diễn miền nghiệm

Vẽ đường biên d: ax + by = c. Nét liền nếu bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥; nét đứt nếu là < hoặc >.
Lấy điểm thử M(x₀; y₀) không thuộc d. Nếu d không đi qua gốc toạ độ thì chọn O(0; 0) cho nhanh.
Kết luận: thay M vào bất phương trình. Đúng thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa M; sai thì là nửa mặt phẳng không chứa M. Tô hoặc gạch bỏ phần còn lại.

Ví dụ 1: x − 1 ≥ 0

Đây là bất phương trình chỉ chứa x, nhưng vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hệ số của y bằng 0. Rút gọn: x ≥ 1.

Đường biên: x = 1, là đường thẳng song song với trục Oy, cắt Ox tại điểm (1; 0). Vẽ nét liền vì có dấu bằng.
Điểm thử O(0; 0): 0 − 1 ≥ 0 là mệnh đề sai.
Kết luận: miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ x = 1 không chứa gốc O, tức phía bên phải, kể cả đường thẳng x = 1.

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng x = 1 trên mặt phẳng Oxy — Miền nghiệm của x − 1 ≥ 0 (tức x ≥ 1): phần tô màu bên phải đường thẳng x = 1.

Ví dụ 2: x − 1 ≤ 0

Tương đương x ≤ 1. Đường biên vẫn là x = 1, nét liền. Thử O(0; 0): 0 − 1 ≤ 0 đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ x = 1 chứa gốc O, phía bên trái, kể cả đường biên.

Em thấy: hai ví dụ 1 và 2 có chung đường biên, miền nghiệm của chúng ghép lại được cả mặt phẳng và chỉ chung nhau đúng đường thẳng x = 1.

Ví dụ 3: x > 0 và y < 0

x > 0: đường biên x = 0 chính là trục Oy, vẽ nét đứt. Gốc O nằm trên biên nên không dùng được; chọn điểm thử (1; 0): 1 > 0 đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy, không kể trục Oy.
y < 0: đường biên y = 0 là trục Ox, nét đứt. Điểm thử (0; 1): 1 < 0 sai. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên dưới trục Ox, không kể trục Ox.

Nếu đề ghi “hoặc” hay “và”?

Đề thường yêu cầu biểu diễn từng bất phương trình riêng. Khi gộp lại, cần phân biệt:

Cách nối	Miền cần tìm	Ví dụ với x ≥ 1 và y ≥ 0
“và” (hệ bất phương trình)	Phần giao của các miền	Góc phần tư phía phải đường x = 1 và phía trên trục Ox
“hoặc”	Phần hợp của các miền	Tô cả hai nửa mặt phẳng, chỉ bỏ phần có x < 1 và y < 0

Lỗi sai thường gặp

Vẽ nhầm đường biên: x = 1 là đường thẳng đứng, không phải đường nằm ngang. Mẹo: phương trình chỉ có x thì đường song song Oy; chỉ có y thì song song Ox.
Nhầm nét liền/nét đứt: có dấu “=” thì liền, không có thì đứt.
Dùng điểm thử nằm trên biên (ví dụ O khi đường đi qua gốc), nên không kết luận được.
Tô sai phía vì không thay điểm thử mà đoán theo dấu. Với bất phương trình có hệ số âm, đoán rất dễ sai, nên luôn thử điểm.

Luyện tập

Các bài dưới đây do thầy tự đặt để em luyện thêm.

Biểu diễn miền nghiệm của y − 2 ≥ 0.
Đáp án: y ≥ 2. Biên y = 2 nét liền, song song Ox. Thử O: 0 ≥ 2 sai, nên lấy nửa mặt phẳng phía trên đường y = 2, kể cả biên.
Biểu diễn miền nghiệm của x + y < 3.
Đáp án: Biên x + y = 3 qua (3; 0) và (0; 3), nét đứt. Thử O: 0 < 3 đúng, nên lấy nửa mặt phẳng chứa gốc O, không kể biên.
Điểm A(2; 1) có thuộc miền nghiệm của x − 1 ≤ 0 không?
Đáp án: Thay x = 2: 2 − 1 = 1 ≤ 0 sai, nên A không thuộc miền nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Là tập hợp các điểm trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn bất phương trình. Đó là một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ax + by = c, có thể kể hoặc không kể đường biên.

Khi nào vẽ đường biên bằng nét đứt, khi nào nét liền?

Bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥ thì vẽ nét liền vì biên thuộc miền nghiệm. Dấu thì vẽ nét đứt vì biên không thuộc miền nghiệm.

Miền nghiệm của x − 1 ≥ 0 nằm phía nào của đường x = 1?

Bất phương trình tương đương x ≥ 1 nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng x = 1, kể cả đường thẳng đó. Gốc O không thuộc miền này.

Nếu đường biên đi qua gốc toạ độ thì chọn điểm thử thế nào?

Chọn một điểm khác nằm ngoài đường biên và có toạ độ đơn giản, ví dụ (1; 0) hoặc (0; 1), miễn là điểm đó không thuộc đường biên.