Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao, biết AH = 4 m, HB = 20 m: tính chiều cao cây
Lớp 9Toán

Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao, biết AH = 4 m, HB = 20 m: tính chiều cao cây

Trả lời nhanh

Với hình vẽ quen thuộc (AH ⊥ HB, AH = 4 m, HB = 20 m, góc BAC = 45°, B là gốc cây, C là ngọn cây), chiều cao cây là BC = 4 + 40/3 = 52/3 m ≈ 17,3 m. Cách làm: kẻ AK ⊥ BC, tính góc BAK từ tan = 4/20, suy ra góc KAC = 45° − BAK, rồi tính KC = AK·tan KAC.

Đề bài và cách hiểu hình vẽ

Đề bài: «Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, góc BAC = 45°. Tính chiều cao của cây.»

Ta hiểu hình như sau: A là vị trí mắt người quan sát, cách mặt đất đoạn AH = 4 m; H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất; B là gốc cây, cách H một khoảng HB = 20 m; C là ngọn cây, BC vuông góc với mặt đất. Cần tính BC.

Lưu ý: nếu hình vẽ trong đề của em có số đo khác thì vẫn dùng đúng phương pháp dưới đây, chỉ thay số.

Hình minh hoạ cây BC, điểm quan sát A cách mặt đất 4 m và cách gốc cây 20 m theo phương ngang
Hình minh hoạ: A cách mặt đất AH = 4 m, HB = 20 m, góc BAC = 45°, AK vuông góc BC

Lời giải chi tiết

  1. Kẻ đường phụ. Từ A kẻ AK ⊥ BC tại K. Khi đó AHBK có ba góc vuông tại H, B, K nên là hình chữ nhật. Suy ra AK = HB = 20 m và KB = AH = 4 m.
  2. Tính góc BAK trong tam giác ABK vuông tại K: tan BAK = KB/AK = 4/20 = 0,2, nên góc BAK ≈ 11,3°.
  3. Tính góc KAC. Vì B nằm dưới đường ngang AK còn C nằm trên nên tia AK nằm giữa hai tia AB, AC. Do đó góc KAC = góc BAC − góc BAK ≈ 45° − 11,3° = 33,7°.
  4. Tính KC trong tam giác AKC vuông tại K: KC = AK·tan KAC ≈ 20·tan 33,7° ≈ 13,3 m.
  5. Chiều cao cây: BC = BK + KC ≈ 4 + 13,3 = 17,3 m.

Cách tính chính xác không cần làm tròn góc

Đặt α = góc BAK với tan α = 0,2. Dùng công thức hiệu hai góc:

tan(45° − α) = (tan 45° − tan α)/(1 + tan 45°·tan α) = (1 − 0,2)/(1 + 0,2) = 0,8/1,2 = 2/3.

Vậy KC = 20·(2/3) = 40/3 m và BC = 4 + 40/3 = 52/3 ≈ 17,33 m. Kết quả đẹp như vậy cho thấy đề được ra có chủ ý.

Em chưa học công thức hiệu hai góc thì cứ dùng máy tính bỏ túi: bấm tan⁻¹(0,2) để tìm góc, rồi làm như các bước ở trên.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên cộng 4 m. KC chỉ là phần cây cao hơn mắt người quan sát; phải cộng thêm KB = AH = 4 m mới ra cả cây.
  • Nhầm góc KAC với góc BAC. Dùng luôn 45° để tính KC sẽ ra 20 m, sai vì 45° là góc từ B lên C, không phải từ đường ngang lên C.
  • Tính góc BAK sai do lấy tan = 20/4. Tỉ số đúng là cạnh đối KB trên cạnh kề AK.
  • Cộng sai góc: chỉ trừ 11,3° khi B và C nằm hai phía của đường ngang qua A, như hình ở đây.

Mẹo làm dạng bài đo chiều cao bằng góc

  • Luôn tạo ra tam giác vuông bằng cách kẻ đường ngang qua vị trí quan sát.
  • Tách bài thành hai phần: phần dưới đường ngang (đã biết số đo) và phần trên đường ngang (cần tính).
  • Ghi rõ đơn vị và làm tròn ở bước cuối để sai số không tích luỹ.

Bài luyện tập

Bài 1. (Ví dụ tự đặt) Cùng hình vẽ nhưng AH = 3 m, HB = 15 m, góc BAC = 45°. Tính BC.

Đáp án: tan BAK = 3/15 = 0,2, nên tan KAC = 2/3; KC = 15·2/3 = 10 m; BC = 3 + 10 = 13 m.

Bài 2. Giữ AH = 4 m, HB = 20 m nhưng góc BAC = 60°. Tính BC (làm tròn đến 0,1 m).

Đáp án: góc BAK ≈ 11,31°, góc KAC ≈ 48,69°, KC ≈ 20·1,1399 ≈ 22,8 m; BC ≈ 26,8 m.

Câu hỏi thường gặp

Chiều cao của cây trong bài toán AH = 4 m, HB = 20 m, góc BAC = 45° là bao nhiêu?

BC = 52/3 m, xấp xỉ 17,3 m, với cách hiểu AH là độ cao của điểm quan sát, HB là khoảng cách tới gốc cây.

Vì sao phải kẻ AK vuông góc với BC?

Để tạo ra tam giác vuông AKC và ABK, nhờ đó áp dụng được tỉ số lượng giác tan. Tứ giác AHBK còn là hình chữ nhật nên AK = HB và KB = AH.

Có cách nào tính mà không cần máy tính bỏ túi không?

Có. Dùng công thức tan(45° − α) = (1 − tan α)/(1 + tan α) với tan α = 0,2 thì được tan KAC = 2/3, suy ra KC = 40/3 m.

Nếu đề cho số liệu khác thì làm thế nào?

Giữ nguyên các bước: kẻ AK, tính góc BAK = tan⁻¹(AH/HB), tính góc KAC = BAC − BAK, tính KC rồi cộng AH.

Bài học liên quan