Phương sai của mẫu số liệu, độ lệch chuẩn: so sánh ổn định

Trả lời nhanh

Với mỗi mẫu, tính số trung bình x̄, sau đó phương sai s² = (1/n)·Σ(x_i − x̄)² và độ lệch chuẩn s = √(s²). Khi hai mẫu có cùng đơn vị và số trung bình bằng hoặc gần bằng nhau, mẫu nào có phương sai (độ lệch chuẩn) nhỏ hơn thì các giá trị tập trung hơn, tức là kết quả thi của bạn đó ổn định hơn.

Đề bài trong slug của trang là dạng quen thuộc ở chương “Các số đặc trưng đo mức độ phân tán” của Toán 10: cho kết quả thi (hoặc kiểm tra) của hai bạn, yêu cầu tính phương sai, độ lệch chuẩn rồi nhận xét bạn nào ổn định hơn. Vì số liệu cụ thể thay đổi theo từng sách và từng bài, thầy hướng dẫn phương pháp và giải một ví dụ tự đặt; em chỉ cần thay số liệu của đề mình vào.

1. Công thức cần nhớ

Cho mẫu số liệu x₁, x₂, …, x_n với số trung bình x̄.

Số trung bình: x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n.
Phương sai: s² = (1/n)·[(x₁ − x̄)² + … + (x_n − x̄)²].
Công thức rút gọn: s² = (1/n)·(x₁² + … + x_n²) − x̄². Công thức này tính nhanh hơn khi số liệu lẻ.
Độ lệch chuẩn: s = √(s²).

Nếu số liệu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị x_k xuất hiện f_k lần, tổng n lần) thì s² = (1/n)·Σ f_k·(x_k − x̄)² = (1/n)·Σ f_k·x_k² − x̄².

2. Các bước giải bài “so sánh độ ổn định”

Tính số trung bình của từng mẫu.
Tính độ lệch (x_i − x̄), bình phương rồi cộng lại, chia cho n để được phương sai.
Lấy căn bậc hai để được độ lệch chuẩn.
So sánh: số nhỏ hơn → phân tán ít hơn → ổn định hơn. Viết kết luận bằng một câu rõ ràng.

3. Ví dụ minh hoạ (số liệu tự đặt)

Hai bạn An và Bình có điểm 5 bài kiểm tra như sau:

Bạn	Điểm 5 bài
An	7; 8; 8; 9; 8
Bình	6; 10; 8; 7; 9

Bạn An. x̄ = (7 + 8 + 8 + 9 + 8)/5 = 40/5 = 8.

Các độ lệch: −1; 0; 0; 1; 0. Bình phương: 1; 0; 0; 1; 0, tổng bằng 2. Vậy s_An² = 2/5 = 0,4 và s_An = √0,4 ≈ 0,63.

Kiểm tra bằng công thức rút gọn: (49 + 64 + 64 + 81 + 64)/5 − 8² = 322/5 − 64 = 64,4 − 64 = 0,4. Khớp.

Bạn Bình. x̄ = (6 + 10 + 8 + 7 + 9)/5 = 40/5 = 8.

Các độ lệch: −2; 2; 0; −1; 1. Bình phương: 4; 4; 0; 1; 1, tổng bằng 10. Vậy s_Bình² = 10/5 = 2 và s_Bình = √2 ≈ 1,41.

Kiểm tra: (36 + 100 + 64 + 49 + 81)/5 − 64 = 330/5 − 64 = 66 − 64 = 2. Khớp.

Kết luận. Hai bạn có cùng điểm trung bình 8, nhưng s_An² = 0,4 nhỏ hơn s_Bình² = 2. Vậy kết quả của bạn An ổn định hơn: điểm của An quanh quẩn gần 8, còn điểm của Bình lúc cao (10), lúc thấp (6).

4. Ví dụ với bảng tần số

Điểm của một nhóm 10 bạn: điểm 6 có 2 bạn, điểm 7 có 3 bạn, điểm 8 có 3 bạn, điểm 9 có 2 bạn.

x̄ = (6·2 + 7·3 + 8·3 + 9·2)/10 = (12 + 21 + 24 + 18)/10 = 7,5.
Σ f·x² = 2·36 + 3·49 + 3·64 + 2·81 = 72 + 147 + 192 + 162 = 573.
s² = 573/10 − 7,5² = 57,3 − 56,25 = 1,05; s = √1,05 ≈ 1,02.

5. Lỗi sai thường gặp

Quên bình phương độ lệch: tổng các độ lệch (x_i − x̄) luôn bằng 0, nên không thể bỏ bước bình phương.
Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn: độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, nên cùng đơn vị với số liệu.
Quên trừ x̄² khi dùng công thức rút gọn, hoặc lấy x̄ làm tròn quá sớm làm sai kết quả.
Kết luận ngược: phương sai lớn nghĩa là phân tán nhiều, tức kém ổn định.
So sánh khi trung bình chênh nhiều: chỉ so sánh trực tiếp độ ổn định khi hai mẫu cùng đơn vị và số trung bình xấp xỉ nhau.

Mẹo nhớ: “Lệch – Bình – Trung bình – Căn”: lấy độ lệch, bình phương, lấy trung bình, rồi mới khai căn nếu cần độ lệch chuẩn.

6. Bài luyện tập

Bài 1. Hai bạn P và Q có điểm 5 lần thi thử: P: 5; 6; 7; 8; 9. Q: 4; 7; 7; 7; 10. Bạn nào ổn định hơn?

Bài 2. Mẫu số liệu 2; 4; 6; 8 có phương sai bằng bao nhiêu?

Đáp án

Bài 1. Cả hai có x̄ = 7. Với P: các độ lệch −2; −1; 0; 1; 2 nên tổng bình phương là 10, s² = 2, s ≈ 1,41. Với Q: các độ lệch −3; 0; 0; 0; 3 nên tổng bình phương là 18, s² = 3,6, s ≈ 1,90. Vì 2 < 3,6 nên bạn P ổn định hơn.
Bài 2. x̄ = 20/4 = 5; các độ lệch −3; −1; 1; 3, bình phương 9; 1; 1; 9, tổng 20; s² = 20/4 = 5.

Câu hỏi thường gặp

Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau thế nào?

Phương sai là trung bình của bình phương các độ lệch so với số trung bình; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu nên dễ diễn giải hơn.

Phương sai nhỏ hơn thì kết quả có ổn định hơn không?

Có. Phương sai nhỏ nghĩa là các giá trị tập trung gần số trung bình, ít biến động. Điều kiện là hai mẫu cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng hoặc gần bằng nhau.

Nên dùng công thức nào để tính phương sai nhanh hơn?

Nếu số trung bình là số nguyên đẹp thì dùng công thức theo độ lệch. Nếu số liệu lẻ hoặc trung bình xấu thì dùng công thức rút gọn s² = (trung bình của bình phương) − (trung bình)².

Phương sai có thể âm không?

Không. Phương sai là trung bình của các bình phương nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0, và bằng 0 khi mọi giá trị của mẫu bằng nhau.