Trả lời nhanh
Mệnh đề “Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác” là SAI. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực của tam giác, vì điểm này cách đều ba đỉnh. Giao của ba đường phân giác mới là tâm đường tròn nội tiếp, vì nó cách đều ba cạnh.
Vì sao là đường trung trực?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua cả ba đỉnh A, B, C. Gọi O là tâm thì phải có OA = OB = OC (cùng bằng bán kính R).
Ta dùng tính chất: điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
- OA = OB nên O nằm trên trung trực của AB.
- OB = OC nên O nằm trên trung trực của BC.
- OC = OA nên O nằm trên trung trực của CA.
Vậy O là điểm chung của ba đường trung trực. Hai đường trung trực đã cắt nhau tại một điểm, đường thứ ba tự động đi qua điểm đó (tính chất đồng quy).
Phân biệt tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp
| Tiêu chí | Đường tròn ngoại tiếp | Đường tròn nội tiếp |
|---|---|---|
| Vị trí đường tròn | Đi qua ba đỉnh | Tiếp xúc ba cạnh |
| Tâm là giao của | Ba đường trung trực | Ba đường phân giác |
| Tâm cách đều | Ba đỉnh (OA = OB = OC = R) | Ba cạnh (khoảng cách = r) |
| Tâm có thể nằm ngoài tam giác? | Có (tam giác tù) | Không, luôn nằm trong |
Mẹo nhớ: “Ngoại – đỉnh – trung trực” (đường tròn đi qua đỉnh thì cần cách đều đỉnh, tức trung trực của cạnh nối hai đỉnh). “Nội – cạnh – phân giác” (đường tròn chạm cạnh thì cần cách đều cạnh, tức phân giác của góc).
Tâm ngoại tiếp nằm ở đâu?
- Tam giác nhọn: tâm nằm bên trong tam giác.
- Tam giác vuông: tâm là trung điểm của cạnh huyền, nên R bằng nửa cạnh huyền.
- Tam giác tù: tâm nằm ngoài tam giác, phía đối diện góc tù.
- Tam giác đều: trung trực, phân giác, trung tuyến, đường cao trùng nhau nên tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp là cùng một điểm.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm với tâm nội tiếp: đây chính là lỗi trong câu hỏi. Hãy tự hỏi “đường tròn đi qua đỉnh hay chạm cạnh?”.
- Nhầm đường trung trực với đường trung tuyến. Trung tuyến đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện, còn trung trực vuông góc với cạnh tại trung điểm, không nhất thiết đi qua đỉnh. Giao ba trung tuyến là trọng tâm.
- Cho rằng chỉ tam giác đều mới có đường tròn ngoại tiếp. Thực tế mọi tam giác đều có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.
- Tưởng tâm ngoại tiếp luôn nằm trong tam giác.
Bài luyện tập
Bài 1. Điền vào chỗ trống: “Giao của ba đường … là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.”
Đáp án: phân giác (tâm cách đều ba cạnh).
Bài 2. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải: BC = √(6² + 8²) = 10 cm. Tam giác vuông có tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền nên R = BC : 2 = 5 cm.
Bài 3. Tam giác vuông có ba cạnh 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và so sánh với bán kính ngoại tiếp R.
Lời giải: R = 5 : 2 = 2,5 cm. Diện tích S = 3·4 : 2 = 6 cm², nửa chu vi p = (3 + 4 + 5) : 2 = 6 cm nên r = S : p = 1 cm. Như vậy r < R: đường tròn nội tiếp nhỏ hơn đường tròn ngoại tiếp.
Câu hỏi thường gặp
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường gì?
Là giao của ba đường trung trực của tam giác. Điểm này cách đều ba đỉnh nên là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh.
Giao của ba đường phân giác là tâm của đường tròn nào?
Là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, vì điểm đó cách đều ba cạnh và luôn nằm bên trong tam giác.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở đâu?
Nằm tại trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền.
Khi nào tâm ngoại tiếp trùng với tâm nội tiếp?
Khi tam giác đều, vì lúc đó đường trung trực, phân giác, trung tuyến và đường cao ứng với mỗi cạnh trùng nhau.