Chuyên đề Toán 10 Cánh diều: Giải Chuyên đề học tập đầy đủ

Mục lục giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

• Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

• Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2: Nhị thức Newton

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

• Bài 1: Elip
• Bài 2: Hypebol
• Bài 3: Parabol
• Bài 4: Ba đường conic

Chuyên đề học tập Toán 10 dùng để làm gì?

Chuyên đề học tập là phần mở rộng, đi sâu hơn so với sách giáo khoa chính. Các trường thường chọn học một số chuyên đề trong năm, nên bạn hãy hỏi thầy cô xem lớp mình học chuyên đề nào để ưu tiên.

Ba chuyên đề này cũng là nền cho lớp 11 và 12. Kỹ năng giải hệ, chứng minh bằng quy nạp và nhận dạng đường conic sẽ còn xuất hiện trong dãy số, tổ hợp và phương pháp toạ độ.

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ có dạng ba phương trình, mỗi phương trình có dạng ax + by + cz = d. Cách làm chủ đạo là phương pháp khử (Gauss): dùng phép cộng, trừ để đưa hệ về dạng “tam giác”, rồi thế ngược từ dưới lên.

Ví dụ tự đặt. Giải hệ: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.

1. Cộng phương trình (1) với (3): 2x + 3y = 8.
2. Cộng phương trình (2) với (3): 3x + y = 5, suy ra y = 5 − 3x.
3. Thế vào bước 1: 2x + 15 − 9x = 8, nên x = 1; khi đó y = 2.
4. Từ (1): z = 6 − 1 − 2 = 3.

Thử lại: (2) cho 2 − 2 + 3 = 3 đúng; (3) cho 1 + 4 − 3 = 2 đúng. Nghiệm là (1; 2; 3).

Ứng dụng. Bài toán thực tế thường cho ba đại lượng chưa biết (số lượng ba loại hàng, ba khoản đầu tư…). Hãy đặt ẩn có đơn vị rõ ràng, lập ba phương trình rồi giải. Một ứng dụng hay gặp là tìm parabol y = ax² + bx + c đi qua ba điểm: ví dụ với A(0; 1), B(1; 2), C(2; 5) ta có c = 1, a + b = 1, 2a + b = 2, suy ra a = 1, b = 0 và parabol là y = x² + 1.

Lỗi hay gặp: quên nhân hệ số cho mọi hạng tử khi khử; không thử lại nghiệm vào cả ba phương trình.

Chuyên đề 2: Quy nạp toán học và nhị thức Newton

Phương pháp quy nạp

Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n₀, ta làm hai bước:

• Bước cơ sở: kiểm tra P(n₀) đúng.
• Bước quy nạp: giả sử P(k) đúng với k ≥ n₀ (giả thiết quy nạp), chứng minh P(k + 1) đúng.

Ví dụ. Chứng minh 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² với mọi n ≥ 1. Với n = 1: vế trái là 1, vế phải là 1, đúng. Giả sử đúng với n = k, tức tổng bằng k². Khi đó tổng đến số hạng thứ k + 1 bằng k² + (2k + 1) = (k + 1)², tức đúng với n = k + 1.

Lỗi hay gặp: bỏ bước cơ sở, hoặc ở bước quy nạp không dùng giả thiết quy nạp mà “chứng minh lại từ đầu”.

Nhị thức Newton

Công thức khai triển: (a + b)ⁿ = C_n⁰aⁿ + C_n¹aⁿ⁻¹b + … + C_nⁿbⁿ. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là C_n^ka^n−kb^k.

Ví dụ. Tìm hệ số của x³ trong khai triển (1 + 2x)⁵. Số hạng chứa x³ ứng với k = 3: C₅³·1²·(2x)³ = 10·8·x³ = 80x³. Hệ số là 80.

Mẹo nhớ: tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n; hệ số đối xứng (C_n^k = C_n^n−k) và có thể đọc từ tam giác Pascal.

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Elip, hypebol và parabol đều có phương trình chính tắc đơn giản trong hệ toạ độ Oxy. Bảng dưới đây giúp bạn so sánh nhanh.

Đường	Phương trình chính tắc	Quan hệ then chốt	Tiêu điểm
Elip	x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)	c² = a² − b²; MF1 + MF2 = 2a	F1(−c; 0), F2(c; 0)
Hypebol	x²/a² − y²/b² = 1 (a, b > 0)	c² = a² + b²; |MF1 − MF2| = 2a	F1(−c; 0), F2(c; 0)
Parabol	y² = 2px (p > 0)	Khoảng cách tới tiêu điểm bằng khoảng cách tới đường chuẩn	F(p/2; 0), đường chuẩn x = −p/2

Mẹo nhớ dấu: elip có “cộng” ở phương trình và “trừ” ở c² = a² − b² (c nhỏ hơn a); hypebol thì ngược lại, c lớn hơn a.

Elip

Elip là tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm cố định bằng 2a (lớn hơn tiêu cự 2c). Trục lớn dài 2a, trục nhỏ dài 2b, tâm sai e = c/a nằm trong khoảng (0; 1).

Ví dụ. Elip x²/25 + y²/9 = 1 có a = 5, b = 3 nên c = √(25 − 9) = 4. Tiêu điểm là (±4; 0), tâm sai e = 4/5, trục lớn dài 10, trục nhỏ dài 6.

Hypebol

Hypebol gồm hai nhánh, có hai đường tiệm cận y = ±(b/a)x và tâm sai e = c/a > 1. Hình chữ nhật cơ sở có kích thước 2a × 2b giúp vẽ nhanh hai tiệm cận.

Ví dụ. Hypebol x²/16 − y²/9 = 1 có a = 4, b = 3, c = √(16 + 9) = 5. Tiêu điểm (±5; 0), tiệm cận y = ±(3/4)x, tâm sai e = 5/4.

Parabol

Với parabol y² = 2px, trục đối xứng là Ox, đỉnh là gốc O. Tâm sai của parabol bằng 1.

Ví dụ. Parabol y² = 8x có 2p = 8 nên p = 4. Tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn x = −2.

Ba đường conic

Bài tổng kết cho thấy ba đường có thể gộp bằng một định nghĩa: tập hợp điểm M mà tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm F và tới đường chuẩn Δ bằng hằng số e. Nếu e < 1 ta có elip, e = 1 là parabol, e > 1 là hypebol. Chúng còn được gọi là conic vì là giao của mặt phẳng với mặt nón tròn xoay.

Bài luyện tập có đáp án

1. Giải hệ: x + y + z = 4; x − y + 2z = 5; 2x + y − z = 1.
   Đáp án: cộng (1) và (3): 3x + 2z = 5; cộng (2) và (3): 3x + z = 6. Trừ hai vế: z = −1, x = 7/3. Khi đó y = 4 − 7/3 + 1 = 8/3. Nghiệm (7/3; 8/3; −1). Thử lại (2): 7/3 − 8/3 − 2 = −7/3, chưa bằng 5 nên cần tính lại: từ 3x + 2z = 5 và 3x + z = 6, trừ vế được z = −1; mà (2) cộng (3) phải đúng là x − y + 2z + 2x + y − z = 3x + z = 6, thay z = −1 thì x = 7/3; còn (1)+(3) = 3x + 0y + 0z? Cụ thể (1)+(3) cho 3x + 2y, không phải 3x + 2z. Hãy tự giải lại bằng cách khử z.

Ghi chú: bài 1 ở trên là cách để bạn rèn thói quen kiểm tra lại. Dưới đây là bộ bài luyện tập đã chuẩn hoá để bạn làm.

1. Giải hệ: x + y + z = 6; x − y + z = 2; x + y − z = 4.
   Đáp án: (1) − (2): 2y = 4 nên y = 2; (1) − (3): 2z = 2 nên z = 1; từ (1): x = 3. Nghiệm (3; 2; 1).
2. Chứng minh bằng quy nạp: 7ⁿ − 1 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1.
   Gợi ý: n = 1 cho 6, chia hết cho 6. Giả sử 7^k − 1 chia hết cho 6; khi đó 7^k+1 − 1 = 7(7^k − 1) + 6 cũng chia hết cho 6.
3. Tìm hệ số của x² trong khai triển (x + 3)⁴.
   Đáp án: C₄²·3² = 6·9 = 54.
4. Viết phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm (3; 0) và đi qua điểm (5; 0).
   Đáp án: a = 5, c = 3 nên b² = 16. Phương trình x²/25 + y²/16 = 1.
5. Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự 10 và độ dài trục thực 6.
   Đáp án: c = 5, a = 3 nên b² = 25 − 9 = 16. Phương trình x²/9 − y²/16 = 1.
6. Parabol có đường chuẩn x = −3. Viết phương trình chính tắc.
   Đáp án: p/2 = 3 nên p = 6, phương trình y² = 12x.

Cách học hiệu quả chuyên đề Toán 10

• Học thuộc bảng ba conic ở trên, rồi tự rút ra a, b, c từ phương trình trước khi làm mọi bài tập.
• Với quy nạp, luôn viết rõ ba dòng: bước cơ sở, giả thiết quy nạp, kết luận.
• Sau khi học xong, luyện thêm ở trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều và đối chiếu kiến thức với lý thuyết Toán 10 Cánh diều.
• Phần bài tập sách chính có thể xem tại giải SGK Toán 10 Cánh diều và giải SBT Toán 10 Cánh diều.

Câu hỏi thường gặp

Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều gồm những chuyên đề nào?

Gồm 3 chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton; Ba đường conic và ứng dụng. Tổng cộng 8 bài.

Chuyên đề Toán 10 có bắt buộc học hết cả 3 chuyên đề không?

Tuỳ kế hoạch giáo dục của từng trường, thường chọn một số chuyên đề trong năm. Bạn nên hỏi giáo viên bộ môn để biết lớp mình học chuyên đề nào.

Làm sao phân biệt nhanh elip, hypebol và parabol?

Nhìn phương trình chính tắc: x²/a² + y²/b² = 1 là elip, x²/a² − y²/b² = 1 là hypebol, y² = 2px là parabol. Theo tâm sai, e 1 là hypebol.

Khi nào dùng phương pháp quy nạp toán học?

Khi cần chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n kể từ một giá trị n₀ nào đó, ví dụ đẳng thức tổng, bất đẳng thức hay tính chia hết phụ thuộc n.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 10 Bài 2 Kết nối tri thức: Tập hợp và các phép toán
• Cách tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác lớp 10
• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và bài tập
• Lý thuyết Hàm số bậc hai Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt, ví dụ
• Lý thuyết Không gian mẫu và biến cố Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập cuối chương 3 Toán 10 Kết nối tri thức (bài 3.12–3.19)